Jawapan ringkas
Formula kuadratik menyelesaikan sebarang persamaan bentuk ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). ± bermakna terdapat dua penyelesaian, didapati dengan menambah dan kemudian menolak sebutan punca kuasa dua. Diskriminasi, b²−4ac, pratonton jenis penyelesaian yang diharapkan sebelum anda menyelesaikan pengiraan.
Pengambilan utama
- Diskriminasi (b²−4ac) pratonton jenis jawapan: positif bermaksud dua punca sebenar, sifar bermaksud satu punca nyata berulang, negatif bermaksud dua punca kompleks.
- Puncak, pada x = −b/(2a), ialah titik minimum parabola jika a > 0 atau titik maksimumnya jika a < 0.
- Pemfaktoran adalah lebih pantas daripada formula apabila kuadratik memfaktorkan dengan kemas ke atas integer, tetapi formula sentiasa berfungsi, walaupun apabila pemfaktoran tidak.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
Formula kuadratik dan diskriminasi
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| Diskriminasi | Jenis penyelesaian | Contoh |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | Dua penyelesaian sebenar | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | Satu penyelesaian sebenar berulang | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | Dua penyelesaian yang kompleks | x²+x+1=0 |
Contoh kerja: menyelesaikan x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Diskriminasi = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 atau x = 2
Ini memadankan pemfaktoran persamaan yang sama secara langsung: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), iaitu sifar tepat apabila x = 2 atau x = 3 — formula kuadratik dan pemfaktoran bersetuju, seperti yang selalu berlaku.
Pucuk dan paksi simetri
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2.5
y = (2.5)² − 5(2.5) + 6 = 6.25 − 12.5 + 6 = −0.25
Puncak = (2.5, −0.25)
Oleh kerana a = 1 adalah positif, parabola ini terbuka ke atas, jadi bucu (2.5, −0.25) ialah titik terendah pada lengkung — dan ia terletak betul-betul di tengah-tengah antara dua punca, 2 dan 3, pada paksi simetri x = 2.5.
Kesilapan biasa yang perlu dielakkan
- Melupakan ± dan melaporkan hanya satu punca — setiap kuadratik dengan diskriminasi positif mempunyai dua penyelesaian yang berbeza.
- Tanda ralat apabila b adalah negatif — a negatif b menjadikan −b positif, sumber kesilapan aritmetik yang kerap.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- Berhenti di x = −b/(2a) untuk bucu dan terlupa memasukkannya semula ke dalam persamaan asal untuk mendapatkan koordinat-y juga.
Kalkulator berkaitan
- Kalkulator Akar — semak semula langkah punca kuasa dua di dalam formula.
- Kalkulator Eksponen — mengesahkan istilah kuasa dua dalam diskriminasi.
- Kalkulator Matriks — menyelesaikan sistem persamaan di luar satu kuadratik.
- Kalkulator Saintifik — mengendalikan pengiraan algebra dan trigonometri am.