Krótka odpowiedź
A confidence interval is a range built around a sample statistic that's likely to contain the true population value: interval = point estimate ± (critical value × standard error). A 95% confidence interval means that if you repeated the sampling process many times, about 95% of the intervals you'd build would contain the true population parameter — not that there's a 95% chance the true value sits inside this one specific interval.
Kluczowe wnioski
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Użyj rozkładu z, jeśli znane jest odchylenie standardowe populacji lub próba jest duża (n ≥ 30); użyj rozkładu t, gdy σ szacuje się na podstawie małej próbki.
- Czterokrotne zwiększenie wielkości próby zmniejsza jedynie o połowę margines błędu, ponieważ błąd standardowy zmniejsza się wraz z pierwiastkiem kwadratowym z n, a nie z samym n.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
Wzór na przedział ufności
Średnia (σ znana): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Proportion: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Poziom zaufania | z wartość krytyczna |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z vs. t: jakiej wartości krytycznej użyć
| Stan | Używać | Dlaczego |
|---|---|---|
| σ znany, dowolna wielkość próbki | z | Standardowy rozkład normalny ma tu zastosowanie dokładnie |
| σ nieznane, n ≥ 30 | z (ok.) | Duże próbki sprawiają, że t jest prawie identyczne z z |
| p nieznane, n < 30 | t | Grubsze ogony powodują dodatkową niepewność w szacowaniu σ |
Przykład praktyczny: przedział 95% dla średniej próbki
Średnia próby x̄ = 50,5, wielkość próby n = 100, odchylenie standardowe σ = 10,5, poziom ufności = 95%.
Błąd standardowy = σ / √n = 10,5 / √100 = 1,05
Margines błędu = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06
95% CI = 50,5 ± 2,06 = [48,44; 52,56]
We'd say we are 95% confident the true population mean falls between 48.44 and 52.56 — meaning this method captures the true mean in about 95% of samples drawn the same way, not that this specific interval has a 95% chance of being right.
Typowe błędy, których należy unikać
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Użycie z, gdy próbka jest mała, a σ jest nieznane — grubsze ogony rozkładu t istnieją specjalnie po to, aby uwzględnić tę dodatkową niepewność.
- Zakładając, że podwojenie wielkości próby zmniejsza margines błędu o połowę — w rzeczywistości potrzeba czterokrotnego n, aby zmniejszyć o połowę margines, ponieważ błąd standardowy zmniejsza się wraz z √n.
- Zapominanie o przedziałach ufności proporcji wymaga p̂ pomiędzy 0 a 1 i może zachowywać się słabo w pobliżu 0 lub 1 w przypadku małych próbek.
Powiązane kalkulatory
- Kalkulator odchylenia standardowego — obliczyć σ z surowych danych przed zbudowaniem wokół niego przedziału.
- Kalkulator wielkości próbki — cofnij się od docelowego marginesu błędu do potrzebnej wielkości próbki.
- Kalkulator wyniku Z — sprawdź, gdzie przypada pojedynczy punkt danych w stosunku do tego rozkładu.
- Kalkulator wartości P — przetestować konkretną hipotezę, zamiast szacować zakres.