Szybka odpowiedź
Wynik z informuje, o ile odchyleń standardowych dana wartość znajduje się powyżej lub poniżej średniej: z = (X - μ) / σ. Wprowadź surowy wynik ze średnią i odchyleniem standardowym, aby uzyskać wynik z, lub cofnij się od znanego wyniku z, aby znaleźć surowy wynik, percentyl i prawdopodobieństwo pod krzywą normalną.
Kluczowe wnioski
- Wynik Z wynoszący 0 oznacza, że wartość jest dokładnie równa średniej; dodatnie z jest powyżej średniej, ujemne z jest poniżej niej.
- Z-score standaryzuje dowolny zbiór danych o rozkładzie normalnym do wspólnej skali, umożliwiając porównywanie wartości mierzonych w zupełnie różnych jednostkach.
- Reguła empiryczna stwierdza, że około 68% wartości mieści się w granicach ±1 SD, 95% w granicach ±2 SD, a 99,7% w granicach ±3 SD od średniej.
- Percentyl i wynik z są powiązane, ale różne — wynik z wynoszący 1 odpowiada około 84. percentylowi, a nie pierwszemu.
Wzór na wynik Z, działający przykład
z = (X − μ) / σ
Przykład: surowy wynik X = 75, średnia μ = 70, odchylenie standardowe σ = 10
- z = (75 - 70) / 10 = 5 / 10 = 0,5
- Wynik Z wynoszący 0,5 oznacza, że wynik znajduje się o połowę odchylenia standardowego powyżej średniej.
- Sprawdzenie z = 0,5 w standardowym rozkładzie normalnym daje percentyl około 69,1% — wynik przewyższa w przybliżeniu 69% rozkładu.
Wyniki Z, percentyle i reguła empiryczna
W przypadku dowolnego rozkładu normalnego reguła empiryczna (reguła 68-95-99.7) opisuje, ile danych mieści się w każdym paśmie odchyleń standardowych:
| Zakres | Przybliżony % danych |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (-3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Porównywanie wyników w różnych skalach
Wyniki Z pozwalają porównać wyniki w testach z zupełnie różnymi skalami punktacji. Załóżmy, że uczeń A uzyska wynik 1350 w teście SAT (średnia 1050, SD 200), a uczeń B uzyska 30 w teście ACT (średnia 21, SD 5):
- Student A: z = (1350 - 1050) / 200 = 1,5
- Student B: z = (30 - 21) / 5 = 1,8
Mimo że surowe wyniki wykorzystują niepowiązane skale, wyższy wynik z ucznia B oznacza, że uzyskał on lepsze wyniki w porównaniu z rozkładem wyników w swoim własnym teście.
Typowe błędy
- Traktowanie wyniku Z tak, jakby był bezpośrednio percentylem — wynik Z wynoszący 1 oznacza w przybliżeniu 84. percentyl, a nie pierwszy.
- Mieszanie prawdopodobieństwa lewego, prawego i dwustronnego – każde z nich odpowiada na inne pytanie dotyczące miejsca spadku wartości.
- Stosowanie wyników Z i reguły empirycznej do danych, które nie mają w przybliżeniu rozkładu normalnego, gdzie wartości procentowe już nie obowiązują.
- Upuszczenie znaku ujemnego wyniku Z, który zmienia to, czy wartość jest powyżej, czy poniżej średniej.
Powiązane kalkulatory
- Kalkulator odchylenia standardowego — do obliczenia σ z surowego zbioru danych
- Kalkulator przedziału ufności — for estimating a range around a sample statistic
- Kalkulator wartości P — do testowania hipotezy na podstawie statystyki testowej
- Kalkulator statystyczny — aby uzyskać pełny zestaw statystyk opisowych dotyczących Twoich danych