Krótka odpowiedź
Odchylenie standardowe mierzy stopień rozproszenia danych wokół średniej, w tych samych jednostkach, co dane oryginalne. Oblicz go, znajdując kwadratowe odchylenie każdej wartości od średniej, uśredniając te kwadraty odchyleń (wariancja), a następnie biorąc pierwiastek kwadratowy. Wąskie skupienie wartości daje małe SD; szeroko rozproszone wartości dają duże SD.
Kluczowe wnioski
- Próbka SD dzieli się przez (n-1), a nie n – poprawkę Bessela – aby uniknąć systematycznego niedoszacowania prawdziwego rozrzutu populacji.
- Odchylenie standardowe ma te same jednostki, co dane oryginalne; wariancję podaje się w jednostkach kwadratowych i dlatego zwykle podaje się SD, a nie wariancję.
- Reguła empiryczna (68-95-99.7) ma zastosowanie tylko do danych w przybliżeniu w kształcie dzwonu (normalnych) — nie dotyczy rozkładów skośnych ani multimodalnych.
- Podniesienie odchyleń do kwadratu przed uśrednieniem (zamiast uśredniania odchyleń bezwzględnych) powoduje większe kary za większe odchylenia i dlatego wariancja i SD stały się standardową miarą rozpiętości.
Wzór na odchylenie standardowe krok po kroku
| Krok | Działanie |
|---|---|
| 1 | Znajdź średnią zbioru danych |
| 2 | Odejmij średnią od każdej wartości (odchylenie) |
| 3 | Podnieś każde odchylenie do kwadratu |
| 4 | Uśrednij kwadraty odchyleń (podziel przez n lub n−1) — to jest wariancja |
| 5 | Weź pierwiastek kwadratowy z wariancji – jest to odchylenie standardowe |
Próbka a populacja: poprawka n-1
Dla zbioru danych {2, 4, 6, 8} średnia = 5, a kwadraty odchyleń wynoszą 9, 1, 1, 9 (suma = 20):
Wariancja populacji = 20 ÷ 4 = 5 → populacja SD = √5 ≈ 2,236
Wariancja próbki = 20 ÷ 3 ≈ 6,667 → SD próbki = √6,667 ≈ 2,582
Wersja próbki jest zawsze równa lub większa od wersji populacji dla tych samych danych — podzielenie przez mniejszą liczbę (n-1 zamiast n) nieznacznie zawyża oszacowanie, korygując fakt, że próbka ma tendencję do niedoszacowania prawdziwego rozrzutu pełnej populacji.
Reguła empiryczna dla normalnych danych
| Zakres | % danych (rozkład normalny) |
|---|---|
| Średnia ± 1 SD | 68% |
| Średnia ± 2 SD | 95% |
| Średnia ± 3 SD | 99.7% |
Ta reguła służy do szybkiego sprawdzania poprawności danych w kształcie dzwonu, a nie prawa uniwersalnego — można ją rozbić na rozkłady skośne, wielomodalne lub z grubymi ogonami.
Typowe błędy, których należy unikać
- Zapominając o ostatnim kroku pierwiastka kwadratowego — wariancja i odchylenie standardowe są często mylone, ale nie można ich stosować zamiennie, ponieważ mają różne jednostki.
- Używanie wzoru na populację (÷n) przy próbie oszacowania rozmieszczenia populacji na podstawie próby — zaniża to rzeczywistą zmienność.
- Stosowanie reguły empirycznej do danych, które nie mają z grubsza kształtu dzwonu — wypaczone dane nie będą zgodne ze wzorcem 68-95-99,7.
- Obliczanie odchyleń od mediany zamiast średniej — odchylenie standardowe jest szczegółowo definiowane wokół średniej.
Powiązane kalkulatory
- Średni kalkulator — oblicz średni rozrzut, jaki mierzy ten kalkulator.
- Kalkulator średniej, mediany, trybu i zakresu — uzyskaj pełniejszy obraz statystyczny wraz z SD.
- Kalkulator przedziału ufności — użyj SD, aby zbudować oszacowanie zakresu średniej populacji.
- Kalkulator wyniku Z — zobacz, o ile odchyleń standardowych dana wartość różni się od średniej.