Короткий ответ
The most common "average" is the arithmetic mean: add every number together and divide by how many there are. For 10, 20, 30, 40, 50 that's (10+20+30+40+50) ÷ 5 = 30. This calculator also computes the median, mode, geometric mean, harmonic mean, and quadratic mean (RMS), because each one answers a slightly different question about the same data.
Ключевые выводы
- Среднее значение использует все значения, поэтому один выброс может отодвинуть его далеко от того места, где фактически находится большая часть данных — медиана более устойчива к экстремальным значениям.
- Темпы роста и доходность инвестиций должны усредняться со средним геометрическим, а не со средним арифметическим, иначе результат завысит истинную сложную доходность.
- Скорость на фиксированном расстоянии или величине — например, средняя скорость в пути туда и обратно — требует гармонического среднего, а не среднего арифметического.
- Режим — это единственное среднее значение, определенное для нечисловых (категориальных) данных, но если каждое значение в числовом наборе уникально, режима вообще не существует.
Какое среднее значение мне следует использовать?
| Ситуация | Лучшее среднее | Почему |
|---|---|---|
| Типичные данные, мало выбросов | Иметь в виду | Использует каждую точку данных одинаково |
| Искаженные данные (доходы, цены на жилье) | медиана | Устойчивость к экстремальным значениям |
| Самый распространенный элемент, категориальные данные | Режим | Для нечисловых данных определено только среднее значение |
| Темпы роста, доход от инвестиций | Среднее геометрическое | Правильно объединяет мультипликативное изменение |
| Тарифы, такие как скорость или цена за единицу | Гармоническое среднее | Исправлено усреднение ставок по равным суммам. |
| Выделение больших отклонений (анализ ошибок) | Среднеквадратичное значение (RMS) | Квадраты усиливают эффект больших значений |
Рабочий пример: шесть средних значений, один набор данных
Возьмите числа 4, 8, 6, 5, 3, 8. Каждый приведенный ниже тип среднего математически обоснован — они просто по-разному взвешивают данные:
| Средний | Формула | Результат |
|---|---|---|
| Среднеквадратичное значение (RMS) | √(Σx² / n) | 5.97 |
| Среднее арифметическое | Σx / n | 5.67 |
| медиана | середина отсортированного списка | 5.50 |
| Среднее геометрическое | ⁿ√(x₁ × x₂ × ... × xₙ) | 5.33 |
| Гармоническое среднее | n / Σ(1/x) | 5.00 |
| Режим | наиболее частое значение | 8 |
Обратите внимание на порядок: среднеквадратичное значение ≥ среднее ≥ среднее геометрическое ≥ среднее гармоническое. Это не совпадение — оно справедливо для каждого положительного набора данных и является полезной проверкой работоспособности, когда вы не уверены, что расчет пошёл не так.
Распространенные ошибки, которых следует избегать
- Усреднение процентных изменений со средним арифметическим. Изменение на -50%, за которым следует изменение на +100%, не означает в среднем +25% — 100 долларов США, которые падают до 50 долларов США, а затем снова удваиваются до 100 долларов США, имеют истинное (геометрическое) среднее изменение 0%.
- Усреднение ставок (скоростей, цен за единицу) без взвешивания по расстоянию или количеству — для этого требуется гармоническое среднее значение, описанное в часто задаваемых вопросах ниже.
- Предполагая, что среднее значение и медиана взаимозаменяемы. В искаженных данных, таких как доходы домохозяйств или цены на жилье, несколько очень высоких значений могут значительно превзойти реальные цифры большинства людей.
- Ожидается режим для данных без повторяющихся значений — если каждое число в наборе уникально, режима нет, а не режима нуля.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор стандартного отклонения — измерьте, насколько разбросаны ваши данные относительно среднего значения.
- Калькулятор среднего, медианы, режима и диапазона — целенаправленная версия четырех наиболее востребованных статистических данных.
- Калькулятор статистики — получите полную статистическую сводку, включая дисперсию и квартили.
- Калькулятор процентов — правильно определите процентные изменения, прежде чем усреднять их.