Короткий ответ
Среднее — это среднее арифметическое (сумма ÷ количество), медиана — среднее значение при сортировке, режим — наиболее частое значение, а диапазон — наибольшее значение минус наименьшее. Вместе они суммируют набор данных с четырех сторон — где он находится в центре (среднее, медиана, мода) и насколько он распределен (диапазон).
Ключевые выводы
- Среднее значение и медиана обычно располагаются близко друг к другу для симметричных данных, но резко расходятся, когда на картину появляются выбросы или асимметрия.
- Набор данных может иметь нулевые режимы (все уникальные значения), один режим или несколько (бимодальный/мультимодальный) — режим — единственный из четырех, который может быть неопределенным.
- Диапазон учитывает только два крайних значения, поэтому из-за одного выброса разброс может выглядеть намного больше, чем он есть на самом деле для основной массы данных.
- Межквартильный размах (Q3 – Q1) является более надежным показателем разброса, чем размах, поскольку он игнорирует самые крайние 25% на каждом конце.
Четыре меры с первого взгляда
| Мера | Что это вам говорит | Чувствительны к выбросам? |
|---|---|---|
| Иметь в виду | Арифметический центр данных | Да — сдвигается с каждым значением |
| медиана | Среднее значение при сортировке | Нет — устойчив к экстремальным воздействиям |
| Режим | Наиболее часто встречающиеся значения | Нет — экстремальные значения не влияют |
| Диапазон | Распространение от низшего к высшему | Да — полностью определяется крайностями |
Рабочий пример: один набор данных, четыре числа.
Данные: 12, 15, 12, 18, 20, 12, 25 — отсортировано: 12, 12, 12, 15, 18, 20, 25
| Иметь в виду | (12+15+12+18+20+12+25) ÷ 7 ≈ 16.29 |
| медиана | 4-е значение в отсортированном списке = 15 |
| Режим | 12 (входит 3 раза) |
| Диапазон | 25 − 12 = 13 |
Обратите внимание, что среднее значение (16,29) здесь находится выше медианы (15), поднятое вверх на 25 — легкий признак отклонения вправо даже в небольшом наборе данных.
Использование IQR для выявления выбросов
Продолжая тот же набор данных (12, 12, 12, 15, 18, 20, 25): разделение по медиане дает нижнюю половину 12, 12, 12 и верхнюю половину 18, 20, 25. Один распространенный метод берет медиану каждой половины: Q1 = 12 и Q3 = 20.
IQR = Q3 − Q1 = 20 − 12 = 8
Нижняя граница = Q1 – 1,5×IQR = 12 – 12 = 0
Верхняя граница = Q3 + 1,5×IQR = 20 + 12 = 32
Каждое значение в этом наборе данных находится в диапазоне от 0 до 32, поэтому по этому правилу ни одно из них не будет помечено как выброс — хотя 25 является самым большим значением, оно все равно находится в пределах нормального диапазона для этого разброса.
Распространенные ошибки, которых следует избегать
- Предполагая, что среднее значение и медиана всегда будут близки — они значительно расходятся, если набор данных искажен или содержит выбросы.
- Ожидание, что каждый набор данных будет иметь режим — набор, в котором каждое значение уникально, вообще не имеет режима, а не режима нуля.
- Если судить о разбросе только по диапазону — одно экстремальное значение может ввести в заблуждение относительно того, как на самом деле ведет себя большая часть данных.
- Предполагая, что Q1/Q3 будет точно совпадать между различными инструментами — расчет квартилей имеет более одного принятого соглашения, поэтому небольшие различия между инструментами являются нормальными.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор средних значений — исследовать геометрические, гармонические и другие специализированные средние значения, выходящие за рамки среднего арифметического.
- Калькулятор стандартного отклонения — измеряйте разброс с помощью метрики, которая использует каждую точку данных, а не только экстремальные значения.
- Калькулятор статистики — получите более широкую статистическую сводку, включая дисперсию и многое другое.
- Калькулятор Z-оценки — посмотрите, на сколько стандартных отклонений значение находится от среднего значения.