Быстрый ответ
Z-показатель показывает, на сколько стандартных отклонений значение находится выше или ниже среднего: z = (X − µ)/σ. Введите необработанный показатель со средним и стандартным отклонением, чтобы получить z-показатель, или действуйте в обратном направлении от известного z-показателя, чтобы найти необработанный показатель, процентиль и вероятность под нормальной кривой.
Ключевые выводы
- Z-показатель, равный 0, означает, что значение точно равно среднему; положительное значение z выше среднего, отрицательное значение z ниже него.
- Z-показатели стандартизируют любой нормально распределенный набор данных по единой шкале, позволяя сравнивать значения, измеренные в совершенно разных единицах.
- Эмпирическое правило гласит, что примерно 68% значений попадают в пределах ±1 SD, 95% — в пределах ±2 SD и 99,7% — в пределах ±3 SD от среднего значения.
- Процентиль и z-показатель связаны, но различны: z-показатель, равный 1, соответствует примерно 84-му процентилю, а не 1-му.
Формула z-показателя, рабочий пример
z = (X − μ) / σ
Пример: исходный балл X = 75, среднее значение μ = 70, стандартное отклонение σ = 10.
- z = (75 − 70)/10 = 5/10 = 0,5
- Z-показатель 0,5 означает, что показатель на половину стандартного отклонения выше среднего.
- Поиск z = 0,5 в стандартном нормальном распределении дает процентиль около 69,1% — показатель превышает примерно 69% распределения.
Z-показатели, процентили и эмпирическое правило
Для любого нормального распределения эмпирическое правило (правило 68-95-99,7) описывает, сколько данных попадает в каждый диапазон стандартных отклонений:
| Диапазон | Примерно % данных |
|---|---|
| µ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| µ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Сравнение оценок по разным шкалам
Z-показатели позволяют сравнивать производительность в тестах с совершенно разными шкалами оценок. Предположим, что студент А набрал 1350 баллов по SAT (в среднем 1050, SD 200), а студент Б набрал 30 баллов по ACT (в среднем 21, SD 5):
- Студент А: z = (1350 − 1050)/200 = 1,5
- Студент Б: z = (30 − 21) / 5 = 1,8
Несмотря на то, что в исходных оценках используются несвязанные шкалы, более высокий z-показатель Студента Б означает, что они показали лучшие результаты по сравнению с распределением баллов в их собственном тесте.
Распространенные ошибки
- Рассматривать z-показатель так, как если бы он был непосредственно процентилем: z-показатель, равный 1, примерно соответствует 84-му процентилю, а не 1-му.
- Если смешать левостороннюю, правостороннюю и двустороннюю вероятность, каждая из них отвечает на отдельный вопрос о том, куда попадает значение.
- Применение z-показателей и эмпирического правила к данным, которые не распределены примерно нормально, где процентные значения больше не соблюдаются.
- Отбрасывание знака отрицательного z-показателя, который меняет значение значения выше или ниже среднего.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор стандартного отклонения — для вычисления σ из набора необработанных данных
- Калькулятор доверительного интервала — для оценки диапазона выборочной статистики
- Калькулятор P-значения — для значимости проверки гипотезы из тестовой статистики
- Калькулятор статистики — для получения полного набора описательной статистики по вашим данным