Короткий ответ
Стандартное отклонение измеряет степень разброса данных относительно среднего значения в тех же единицах, что и исходные данные. Вычислите его, найдя квадратическое отклонение каждого значения от среднего, усреднив эти квадратичные отклонения (дисперсию), а затем извлекая квадратный корень. Плотный кластер значений дает небольшое стандартное отклонение; широко разбросанные значения дают большое стандартное отклонение.
Ключевые выводы
- Стандартное отклонение выборки делится на (n−1), а не на n (поправка Бесселя), чтобы избежать систематической недооценки истинного разброса населения.
- Стандартное отклонение имеет те же единицы измерения, что и исходные данные; дисперсия выражается в квадратах, поэтому обычно указывается стандартное отклонение, а не дисперсия.
- Эмпирическое правило (68-95-99.7) применимо только к примерно колоколообразным (нормальным) данным — оно не справедливо для асимметричных или мультимодальных распределений.
- Возведение в квадрат отклонений перед усреднением (а не просто усреднение абсолютных отклонений) приводит к более серьезным штрафам за большие отклонения, поэтому дисперсия и стандартное отклонение стали стандартной мерой разброса.
Формула стандартного отклонения, шаг за шагом
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | Найдите среднее значение набора данных |
| 2 | Вычтите среднее значение из каждого значения (отклонение) |
| 3 | Возведите в квадрат каждое отклонение |
| 4 | Усредните квадраты отклонений (делите на n или n−1) — это дисперсия |
| 5 | Возьмите квадратный корень из дисперсии — это стандартное отклонение. |
Выборка против совокупности: поправка n-1
Для набора данных {2, 4, 6, 8} среднее значение = 5, а квадратичные отклонения равны 9, 1, 1, 9 (сумма = 20):
Дисперсия популяции = 20 ÷ 4 = 5 → SD популяции = √5 ≈ 2,236
Выборочная дисперсия = 20 ÷ 3 ≈ 6,667 → стандартное отклонение выборки = √6,667 ≈ 2,582
Версия выборки всегда равна версии генеральной совокупности для тех же данных или превышает ее — деление на меньшее число (n−1 вместо n) слегка увеличивает оценку, корректируя тот факт, что выборка имеет тенденцию недооценивать истинный разброс всей совокупности.
Эмпирическое правило для нормальных данных
| Диапазон | % данных (нормальное распределение) |
|---|---|
| Среднее ± 1 стандартное отклонение | 68% |
| Среднее ± 2 СО | 95% |
| Среднее ± 3 СО | 99.7% |
Это правило является быстрой проверкой правильности колоколообразных данных, а не универсальным законом — оно не работает для асимметричных, мультимодальных или тяжелохвостых распределений.
Распространенные ошибки, которых следует избегать
- Забываем последний шаг извлечения квадратного корня: дисперсию и стандартное отклонение часто путают, но они не взаимозаменяемы, поскольку выражаются в разных единицах измерения.
- Использование формулы популяции (÷n) при попытке оценить распространение популяции по выборке — это занижает истинную изменчивость.
- Если применить эмпирическое правило к данным, которые не имеют грубой колоколообразной формы, то искаженные данные не будут соответствовать шаблону 68-95-99,7.
- Вычисление отклонений от медианы вместо среднего значения — стандартное отклонение специально определяется вокруг среднего значения.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор средних значений — вычислите среднее значение, которое измеряет этот калькулятор.
- Калькулятор среднего, медианы, режима и диапазона — получить более полную статистическую картину наряду с SD.
- Калькулятор доверительного интервала — используйте SD, чтобы построить оценку диапазона для среднего значения населения.
- Калькулятор Z-оценки — посмотрите, на сколько стандартных отклонений значение находится от среднего значения.