Короткий ответ
Доверительный интервал — это диапазон, построенный на основе выборочной статистики, который, скорее всего, будет содержать истинное значение совокупности: интервал = точечная оценка ± (критическое значение × стандартная ошибка). Доверительный интервал 95% означает, что если вы повторите процесс выборки много раз, около 95% интервалов, которые вы построите, будут содержать истинный параметр генеральной совокупности, а не то, что существует вероятность 95%, что истинное значение находится внутри этого конкретного интервала.
Ключевые выводы
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Используйте z-распределение, когда известно стандартное отклонение генеральной совокупности или если выборка велика (n ≥ 30); используйте t-распределение, когда σ оценивается по небольшой выборке.
- Увеличение размера выборки в четыре раза уменьшает погрешность только вдвое, поскольку стандартная ошибка уменьшается с квадратным корнем из n, а не с самим n.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
Формула доверительного интервала
Среднее значение (известно σ): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Пропорция: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Уровень уверенности | критическое значение z |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z против t: какое критическое значение использовать
| Состояние | Использовать | Почему |
|---|---|---|
| σ известен, любой размер выборки | z | Стандартное нормальное распределение применяется именно |
| σ неизвестно, n ≥ 30 | z (ок.) | Большие выборки делают t почти идентичным z |
| p неизвестно, n < 30 | t | Более толстые хвосты приводят к дополнительной неопределенности в оценке σ. |
Рабочий пример: интервал 95% для выборочного среднего значения.
Среднее значение выборки x = 50,5, размер выборки n = 100, стандартное отклонение σ = 10,5, уровень достоверности = 95%.
Стандартная ошибка = σ/√n = 10,5/√100 = 1,05
Погрешность = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06.
95% ДИ = 50,5 ± 2,06 = [48,44, 52,56]
Мы бы сказали, что мы на 95% уверены, что истинное среднее значение для генеральной совокупности находится между 48,44 и 52,56 — это означает, что этот метод фиксирует истинное среднее значение примерно в 95% выборок, взятых таким же образом, а не в том, что этот конкретный интервал имеет 95% вероятность оказаться верным.
Распространенные ошибки, которых следует избегать
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Использование z, когда выборка мала и σ неизвестна — более толстые хвосты t-распределения существуют специально для учета этой дополнительной неопределенности.
- Предположим, что удвоение размера выборки уменьшает погрешность вдвое — на самом деле для уменьшения погрешности вдвое требуется увеличение n в четыре раза, поскольку стандартная ошибка уменьшается с увеличением √n.
- Чтобы забыть о доверительных интервалах пропорций, требуется значение p̂ между 0 и 1, и они могут вести себя плохо вблизи 0 или 1 с небольшими выборками.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор стандартного отклонения — вычислите σ на основе необработанных данных, прежде чем строить вокруг них интервал.
- Калькулятор размера выборки — действуйте в обратном направлении от целевой погрешности до нужного вам размера выборки.
- Калькулятор Z-оценки — проверьте, где находится отдельная точка данных относительно этого распределения.
- Калькулятор P-значения — проверить конкретную гипотезу, а не оценивать диапазон.