Короткий ответ
Теорема Пифагора гласит: a² + b² = c² для любого прямоугольного треугольника, где c — гипотенуза (самая длинная сторона, противоположная прямому углу), а a, b — два катета. Учитывая любые две стороны, найдите третью: c = √(a²+b²), чтобы найти гипотенузу, или a = √(c²−b²), чтобы найти катет.
Ключевые выводы
- Теорема применима только к прямоугольным треугольникам — треугольникам, у которых ровно один угол 90°.
- Гипотенуза всегда является самой длинной стороной и всегда стоит отдельно на одной стороне уравнения и никогда не объединяется с катетом под тем же квадратным корнем.
- Тройки Пифагора (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) — это целочисленные решения, которые постоянно встречаются в задачах по геометрии и реальном строительстве.
- Умножение каждой стороны пифагоровой тройки на одно и то же число дает еще одну действительную тройку — 6-8-10 и 9-12-15 масштабируются от 3-4-5.
Решение для каждой стороны
| Неизвестный | Формула |
|---|---|
| в (гипотенуза) | c = √(a² + b²) |
| а (нога) | a = √(c² − b²) |
| б (нога) | b = √(c² − a²) |
Решение для катета всегда вычитает квадратный корень, а не складывает — катет короче гипотенузы, поэтому удаление вклада другого катета из c² — это то, что его восстанавливает.
Общие пифагоровы тройки
| Тройной | Проверять |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
Рабочий пример: правило построения 3-4-5.
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
Строители измеряют 3 фута вдоль одной стены и 4 фута вдоль перпендикулярной стены от того же угла, затем проверяют диагональ между этими двумя точками. Диагональ ровно в 5 футов подтверждает истинный прямой угол — не требуется ни транспортира, ни угломера, только рулетка и это единственное удостоверение.
Распространенные ошибки, которых следует избегать
- Если применить a² + b² = c² к треугольнику, который на самом деле не является прямоугольным, то идентичность просто не будет сохраняться без истинного угла в 90°.
- Сложение вместо вычитания при определении катета — катет получается из c² − (другой катет)², а не c² + (другой катет)².
- Неправильное обозначение того, какая сторона является гипотенузой — это всегда сторона, противоположная прямому углу, и всегда самая длинная, независимо от того, как треугольник нарисован или повернут.
- Смешение единиц измерения перед возведением в квадрат — каждая сторона должна быть в одной и той же единице измерения (все футы или все метры), прежде чем формула даст значимый результат.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор прямоугольного треугольника — Найдите углы и площади в дополнение к недостающей стороне.
- Калькулятор расстояний — см. ту же теорему, примененную к координатным точкам вместо сторон треугольника.
- Калькулятор треугольника — работайте с треугольниками, которые не являются прямыми углами.
- Калькулятор корней — дважды проверьте квадратный корень вручную.