Короткий ответ
В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а гипотенуза всегда противоположна ему (и всегда самая длинная сторона). Тригонометрия связывает острые углы с соотношениями сторон: sin θ = противоположный/гипотенуза, cos θ = примыкающий/гипотенуза, tan θ = противоположный/прилегающий (SOH-CAH-TOA). Учитывая любые две стороны или одну сторону и один острый угол, вы можете решить все остальное.
Ключевые выводы
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90° — найдите один, а другой мгновенно вычитается.
- SOH-CAH-TOA — это инструмент для решения треугольника, когда вы знаете угол плюс одну сторону, а не две стороны — вместо этого в этом случае требуется теорема Пифагора.
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов: A = ½ab, поскольку сами катеты уже образуют прямой угол.
- В треугольнике никогда не может быть двух прямых углов — сумма трех углов должна составлять 180°, не оставляя места для вторых 90°.
SOH-CAH-TOA с первого взгляда
| Соотношение | Формула | Мнемоника |
|---|---|---|
| sin θ | opposite / hypotenuse | SOH |
| cos θ | adjacent / hypotenuse | CAH |
| tan θ | opposite / adjacent | TOA |
Проработанный пример: решение под углом и сбоку
Угол А = 30°, гипотенуза с = 10. Найдите оба катета и оставшийся угол.
а = с × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5
б = с × cos(30°) = 10 × 0,866 ≈ 8,66
Угол B = 90° − 30° = 60°
Проверьте теорему Пифагора: 5² + 8,66² ≈ 25 + 75 = 100 = 10² — подтверждение того, что тригонометрический результат соответствует сторонам треугольника.
Формулы площади и периметра
Площадь = ½ × a × b = ½ × 5 × 8,66 ≈ 21,65
Периметр = a + b + c = 5 + 8,66 + 10 = 23,66
Поскольку две стороны прямоугольного треугольника уже встречаются под углом 90 °, они напрямую служат основанием и высотой — в отличие от других типов треугольников не требуется отдельного расчета высоты.
Распространенные ошибки, которых следует избегать
- Использование тангенса, когда задействована гипотенуза — tan связывает два катета только друг с другом, а не с гипотенузой.
- Mixing up "opposite" and "adjacent" — these labels depend on which acute angle you're using, even though the hypotenuse itself never changes.
- Забываете проверить градусы и радианы перед вычислением sin, cos или tan вручную или с помощью отдельного калькулятора.
- Searching for a separate "height" for the area formula — in a right triangle, the two legs already serve as base and height.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор теоремы Пифагора — найдите недостающую сторону, если вы знаете две другие стороны напрямую.
- Калькулятор треугольника — работайте с треугольниками, которые не являются прямыми углами.
- Калькулятор расстояний — см. ту же логику прямоугольного треугольника, примененную к координатным точкам.
- Научный калькулятор — вычислить синус, косинус и тангенс напрямую для любого угла.