Быстрый ответ
Выберите режим расчета, который соответствует тому, что вы знаете — три стороны (SSS), две стороны и угол между ними (SAS), два угла и сторона между ними (ASA), два угла и невключенная сторона (AAS) или две стороны и невключенный угол (SSA). Калькулятор применяет закон косинусов или закон синусов для расчета каждой оставшейся стороны, угла, площади и периметра.
Ключевые выводы
- Для полного решения любого треугольника необходимо ровно три известных значения (в допустимой комбинации).
- Закон косинусов соединяет три стороны и один угол; Закон синусов соединяет стороны и углы пропорционально синусу противоположного им угла.
- Сумма трех внутренних углов всегда равна ровно 180°, независимо от формы и размера треугольника.
- Входные данные SSA — это единственный случай, который может быть неоднозначным — он может описывать ноль, один или два допустимых треугольника.
- Формула Герона находит площадь непосредственно с трех сторон, без необходимости использования угла.
Выбор метода: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA
Каждая мода описывает различную комбинацию известных сторон и углов. Сопоставьте то, что у вас есть, со строкой ниже:
| Режим | Ты знаешь | Решено с помощью |
|---|---|---|
| SSS | Все три стороны | Закон косинусов (углы), формула Герона (площадь) |
| SAS | Две стороны + угол между ними | Закон косинусов (третья сторона), затем снова закон косинусов для углов. |
| ASA | Два угла + сторона между ними | Теорема о сумме треугольника (третий угол), закон синусов (стороны) |
| AAS | Два угла + сторона, не лежащая между ними. | Теорема о сумме треугольника (третий угол), закон синусов (стороны) |
| SSA | Две стороны + невключенный угол | Закон синусов — может иметь 0, 1 или 2 решения. |
Закон синусов и закон косинусов
Закон косинусов обобщает теорему Пифагора на любой треугольник:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
Закон синусов соотносит каждую сторону с синусом противоположного ей угла:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Рабочий пример (ASA): Угол A = 40°, сторона c = 10, Угол B = 60°.
- Угол C = 180° - 40° - 60° = 80°
- Сторона a = c × sin(A) / sin(C) = 10 × sin(40°) / sin(80°) ≈ 6,53
- Сторона b = c × sin(B) / sin(C) = 10 × sin(60°) / sin(80°) ≈ 8,79.
- Площадь = 0,5 × a × b × sin(C) ≈ 0,5 × 6,53 × 8,79 × sin(80°) ≈ 28,27
Неоднозначное дело SSA
Если вы знаете две стороны и не включенный в них угол, высота h = b × sin(A) определяет, сколько треугольников соответствует этим измерениям. Пример: сторона b = 10, угол A = 30° (то есть h = 10 × sin(30°) = 5):
| Сторона а | Сравнение с h = 5 | Результат |
|---|---|---|
| 4 | a < h | Никакого треугольника не существует |
| 5 | a = h | Ровно один треугольник (прямоугольный треугольник) |
| 7 | h < a < b | Два возможных треугольника (неоднозначно) |
| 12 | a ≥ b | Ровно один треугольник |
Этот калькулятор возвращает действительный набор решений для ваших входных данных; когда два треугольника математически возможны, он сообщает решение с острым углом.
Распространенные ошибки
- Ввод трех сторон, которые нарушают неравенство треугольника: сумма двух более коротких сторон должна быть больше, чем самая длинная сторона, иначе треугольник не может образоваться.
- Смешение SAS и ASA: для SAS требуется угол, расположенный между двумя заданными углами, а для ASA — сторона, расположенная между двумя заданными углами.
- Забывая, что SSA может быть неоднозначным, и предполагая, что существует только один возможный треугольник.
- Работает в неправильной угловой единице — этот калькулятор рассчитывает на градусы, а не радианы.
Сопутствующие калькуляторы
- Калькулятор прямоугольного треугольника — для треугольников с известным углом 90°
- Калькулятор теоремы Пифагора — для нахождения недостающей стороны прямоугольного треугольника
- Калькулятор площади — для площади треугольников и других фигур
- Калькулятор расстояний — для расстояния между двумя точками координат