Snabbt svar
En z-poäng talar om hur många standardavvikelser ett värde ligger över eller under medelvärdet: z = (X − μ) / σ. Ange ett råpoäng med medelvärdet och standardavvikelsen för att få z-poängen, eller arbeta bakåt från en känd z-poäng för att hitta råpoängen, percentilen och sannolikheten under normalkurvan.
Nyckel takeaways
- En z-poäng på 0 betyder att värdet är exakt lika med medelvärdet; positiv z är över medelvärdet, negativ z är under det.
- Z-poäng standardiserar alla normalfördelade datauppsättningar till en gemensam skala, så att du kan jämföra värden uppmätta i helt olika enheter.
- Den empiriska regeln anger att ungefär 68 % av värdena faller inom ±1 SD, 95 % inom ±2 SD och 99,7 % inom ±3 SD av medelvärdet.
- Percentil och z-poäng är relaterade men olika — en z-poäng på 1 motsvarar ungefär den 84:e percentilen, inte den 1:a.
Z-poängformeln, fungerade exempel
z = (X − μ) / σ
Exempel: råpoäng X = 75, medelvärde μ = 70, standardavvikelse σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0,5
- En z-poäng på 0,5 betyder att poängen ligger en halv standardavvikelse över medelvärdet.
- Att slå upp z = 0,5 på standardnormalfördelningen ger en percentil på cirka 69,1 % — poängen slår ungefär 69 % av fördelningen.
Z-poäng, percentiler och den empiriska regeln
För varje normalfördelning beskriver den empiriska regeln (68-95-99,7 regel) hur mycket data som faller inom varje band av standardavvikelser:
| Räckvidd | Ungefär % av data |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Jämför poäng över olika skalor
Z-poäng låter dig jämföra prestanda på test med helt olika poängskalor. Antag att student A får 1350 poäng på SAT (medelvärde 1050, SD 200) och student B får 30 poäng på ACT (medelvärde 21, SD 5):
- Elev A: z = (1350 − 1050) / 200 = 1,5
- Elev B: z = (30 − 21) / 5 = 1,8
Även om råpoängen använder icke-relaterade skalor, betyder Student B:s högre z-poäng att de presterade bättre i förhållande till deras eget tests fördelning av poäng.
Vanliga misstag
- Att behandla en z-poäng som om den vore en percentil direkt - en z-poäng på 1 är ungefär den 84:e percentilen, inte den 1:a.
- Att blanda ihop vänstersvans-, högersvans- och tvåsvanssannolikhet – var och en svarar på olika frågor om var ett värde faller.
- Tillämpa z-poäng och den empiriska regeln på data som inte är ungefär normalfördelade, där procentsatserna inte längre håller.
- Släpp tecknet på en negativ z-poäng, som vänder om ett värde är över eller under medelvärdet.
Relaterade miniräknare
- Standardavvikelsekalkylator — för beräkning av σ från en rådatauppsättning
- Kalkylator för konfidensintervall — för att uppskatta ett intervall runt en provstatistik
- P-värdesräknare — för hypotestestande signifikans från en teststatistik
- Statistikkalkylator — för en fullständig uppsättning beskrivande statistik över dina data