คำตอบสั้นๆ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกล่าวว่า a² + b² = c² สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก (ด้านที่ยาวที่สุด ตรงข้ามมุมขวา) และ a, b คือสองขา เมื่อกำหนดให้มีด้านสองด้านใดๆ ให้แก้โจทย์ด้านที่สาม: c = √(a²+b²) เพื่อหาด้านตรงข้ามมุมฉาก หรือ a = √(c²−b²) เพื่อหาขา
ประเด็นสำคัญ
- ทฤษฎีบทนี้ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น นั่นคือสามเหลี่ยมที่มีมุม 90° มุมเดียวพอดี
- ด้านตรงข้ามมุมฉากจะเป็นด้านที่ยาวที่สุดเสมอและตั้งอยู่ด้านเดียวของสมการเสมอ โดยจะไม่รวมกับขาที่อยู่ใต้รากที่สองเดียวกัน
- เลขสามเท่าของพีทาโกรัส (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) เป็นคำตอบของจำนวนเต็มที่ปรากฏอยู่ตลอดเวลาในปัญหาเรขาคณิตและการสร้างในโลกแห่งความเป็นจริง
- การคูณทุกด้านของค่า Triple ของพีทาโกรัสด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้เกิดค่า Triple ที่ถูกต้องอีกค่าหนึ่ง — 6-8-10 และ 9-12-15 จะถูกปรับขนาดจาก 3-4-5 ทั้งคู่
แก้คนละด้าน
| ไม่ทราบ | สูตร |
|---|---|
| ค (ด้านตรงข้ามมุมฉาก) | c = √(a² + b²) |
| เอ (ขา) | a = √(c² − b²) |
| ข (ขา) | b = √(c² − a²) |
การหาค่าขาจะลบออกใต้รากที่สองเสมอ และไม่เคยบวกกัน ขาจะสั้นกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้นการลบส่วนร่วมของขาอีกข้างออกจาก c² จะทำให้ได้ค่ากลับคืนมา
สามเท่าของพีทาโกรัสทั่วไป
| ทริปเปิ้ล | ตรวจสอบ |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
ตัวอย่างการทำงาน: กฎการก่อสร้าง 3-4-5
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
ช่างก่อสร้างวัดระยะ 3 ฟุตตามผนังด้านหนึ่งและ 4 ฟุตตามผนังตั้งฉากจากมุมเดียวกัน จากนั้นตรวจสอบเส้นทแยงมุมระหว่างจุดสองจุดนั้น เส้นทแยงมุม 5 ฟุตพอดียืนยันมุมขวาที่แท้จริง ไม่จำเป็นต้องใช้ไม้โปรแทรกเตอร์หรือตัวค้นหามุม มีเพียงสายวัดและเอกลักษณ์นี้
ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง
- การใช้ a² + b² = c² กับสามเหลี่ยมซึ่งจริงๆ แล้วไม่ใช่มุมฉาก — อัตลักษณ์จะคงอยู่ไม่ได้หากไม่มีมุม 90° จริงๆ
- การบวกแทนที่จะลบเมื่อแก้โจทย์หาขา — ขานั้นมาจาก c² − (ขาอื่น)² ไม่ใช่ c² + (ขาอื่น)²
- การระบุว่าด้านใดเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากผิด — จะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากเสมอและยาวที่สุดเสมอ ไม่ว่าสามเหลี่ยมจะวาดหรือหมุนอย่างไร
- การผสมหน่วยก่อนยกกำลังสอง — ทุกด้านจะต้องอยู่ในหน่วยเดียวกัน (ทุกฟุตหรือทั้งหมดเมตร) ก่อนที่สูตรจะให้ผลลัพธ์ที่มีความหมาย
เครื่องคิดเลขที่เกี่ยวข้อง
- เครื่องคิดเลขสามเหลี่ยมมุมฉาก — แก้หามุมและพื้นที่นอกเหนือจากด้านที่หายไป
- เครื่องคำนวณระยะทาง — ดูทฤษฎีบทเดียวกันที่ใช้กับจุดพิกัดแทนด้านสามเหลี่ยม
- เครื่องคิดเลขสามเหลี่ยม — ทำงานกับรูปสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นมุมฉาก
- เครื่องคิดเลขรูท — ตรวจสอบรากที่สองด้วยมืออีกครั้ง