The short answer
Standard deviation measures how spread out data are around the mean, in the same units as the original data. Compute it by finding each value's squared deviation from the mean, averaging those squared deviations (variance), then taking the square root. A tight cluster of values gives a small SD; widely scattered values give a large SD.
Temel çıkarımlar
- Örnek SD, gerçek popülasyon yayılımının sistematik olarak küçümsenmesini önlemek için n'ye (Bessel düzeltmesi) değil (n−1)'e bölünür.
- Standart sapma orijinal verilerle aynı birimleri paylaşır; varyans kare birimler halindedir, bu nedenle genellikle varyans değil SD rapor edilir.
- Ampirik kural (68-95-99.7) yalnızca kabaca çan şeklindeki (normal) veriler için geçerlidir; çarpık veya çok modlu dağılımlar için geçerli değildir.
- Ortalamadan önce sapmaların karesinin alınması (sadece mutlak sapmaların ortalamasını almak yerine), daha büyük sapmaları daha ağır şekilde cezalandırır; bu nedenle varyans ve SD, yayılmanın standart ölçüsü haline geldi.
Standart sapma formülü, adım adım
| Adım | Aksiyon |
|---|---|
| 1 | Veri kümesinin ortalamasını bulun |
| 2 | Ortalamayı her değerden çıkarın (sapma) |
| 3 | Her sapmanın karesi |
| 4 | Sapmaların karelerinin ortalamasını alın (n veya n−1'e bölün) — bu varyanstır |
| 5 | Varyansın karekökünü alın — bu standart sapmadır |
Örneklem ve popülasyon: n−1 düzeltmesi
{2, 4, 6, 8} veri seti için ortalama = 5 ve sapmaların karesi 9, 1, 1, 9'dur (toplam = 20):
Popülasyon varyansı = 20 ÷ 4 = 5 → popülasyon SD = √5 ≈ 2,236
Örnek varyansı = 20 ÷ 3 ≈ 6,667 → örnek SD = √6,667 ≈ 2,582
Örnek sürüm her zaman aynı veriler için popülasyon sürümüne eşit veya ondan daha büyüktür; daha küçük bir sayıya bölmek (n yerine n−1), tahmini biraz şişirir ve bir örneğin tam popülasyonun gerçek yayılımını eksik tahmin etme eğiliminde olduğu gerçeğini düzeltir.
Normal veriler için ampirik kural
| Range | Verilerin %'si (normal dağılım) |
|---|---|
| Ortalama ± 1 SD | 68% |
| Ortalama ± 2 SD | 95% |
| Ortalama ± 3 SD | 99.7% |
Bu kural, evrensel bir yasa değil, çan şeklindeki veriler için hızlı bir akıl sağlığı kontrolüdür; çarpık, çok modlu veya ağır kuyruklu dağılımlar için geçerli değildir.
Common mistakes to avoid
- Son karekök adımını unutmak - varyans ve standart sapma sıklıkla karıştırılır, ancak farklı birimlerde olduklarından birbirlerinin yerine kullanılamazlar.
- Bir popülasyonun bir örnekten yayılmasını tahmin etmeye çalışırken popülasyon formülünü (÷n) kullanmak; bu, gerçek değişkenliği olduğundan az gösterir.
- Ampirik kuralı kabaca çan şeklinde olmayan verilere uygulamak - çarpık veriler 68-95-99,7 modelini takip etmeyecektir.
- Ortalama yerine medyandan sapmaların hesaplanması — standart sapma özellikle ortalama etrafında tanımlanır.
İlgili hesap makineleri
- Ortalama Hesaplayıcı — Bu hesap makinesinin ölçtüğü ortalamanın etrafa yayıldığını hesaplayın.
- Ortalama, Medyan, Mod ve Aralık Hesaplayıcı — SD'nin yanı sıra daha dolgun bir istatistiksel resim elde edin.
- Güven Aralığı Hesaplayıcı — Popülasyon ortalamasına yönelik bir aralık tahmini oluşturmak için SD'yi kullanın.
- Z-Score Hesaplayıcı — bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu görün.