The short answer
Güven aralığı, gerçek popülasyon değerini içermesi muhtemel olan bir örnek istatistik etrafında oluşturulmuş bir aralıktır: aralık = nokta tahmini ± (kritik değer × standart hata). %95 güven aralığı, örnekleme sürecini birçok kez tekrarlarsanız oluşturacağınız aralıkların yaklaşık %95'inin gerçek popülasyon parametresini içereceği anlamına gelir; gerçek değerin bu belirli aralığın içinde olma ihtimalinin %95 olduğu anlamına gelmez.
Temel çıkarımlar
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Popülasyon standart sapması bilindiğinde veya örneklem büyük olduğunda (n ≥ 30) z dağılımını kullanın; σ küçük bir örnekten tahmin edildiğinde t dağılımını kullanın.
- Standart hata n'nin kendisiyle değil, n'nin kareköküyle küçüldüğünden, örneklem boyutunun dört katına çıkarılması hata marjını yalnızca yarıya indirir.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
Güven aralığı formülü
Ortalama (σ biliniyor): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Oran: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Güven düzeyi | z kritik değeri |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z ve t: hangi kritik değerin kullanılacağı
| Durum | Kullanmak | Neden |
|---|---|---|
| σ biliniyor, herhangi bir örneklem büyüklüğü | z | Standart normal dağılım tam olarak geçerlidir |
| σ bilinmiyor, n ≥ 30 | z (yaklaşık.) | Büyük örnekler t'yi neredeyse z ile aynı yapar |
| p bilinmiyor, n < 30 | t | Daha kalın kuyruklar σ tahmininde ekstra belirsizliğe neden olur |
Çözümlü örnek: Örnek ortalama için %95 aralık
Örneklem ortalaması x̄ = 50,5, örneklem büyüklüğü n = 100, standart sapma σ = 10,5, güven düzeyi = %95.
Standart hata = σ / √n = 10,5 / √100 = 1,05
Hata payı = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06
%95 GA = 50,5 ± 2,06 = [48,44, 52,56]
Gerçek popülasyon ortalamasının 48,44 ile 52,56 arasında olduğundan %95 emin olduğumuzu söyleyebiliriz; bu, bu yöntemin aynı şekilde alınan örneklerin yaklaşık %95'inde gerçek ortalamayı yakaladığı anlamına gelir, bu belirli aralığın %95 doğru olma şansına sahip olduğu anlamına gelmez.
Common mistakes to avoid
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Örnek küçük olduğunda ve σ bilinmediğinde z'yi kullanmak; t dağılımının kalın kuyrukları özellikle bu ekstra belirsizliği hesaba katmak için mevcuttur.
- Örnek boyutunu iki katına çıkarmanın hata marjını yarıya indirdiğini varsayarsak, standart hata √n ile küçüldüğünden aslında marjın yarıya indirilmesi için n'nin dört katına çıkarılması gerekir.
- Orantı güven aralıklarının unutulması, p̂'nin 0 ile 1 arasında olmasını gerektirir ve küçük örneklerle 0 veya 1'e yakın yerlerde kötü davranabilir.
İlgili hesap makineleri
- Standart Sapma Hesaplayıcı — Etrafında bir aralık oluşturmadan önce σ'yu ham verilerden hesaplayın.
- Örnek Boyutu Hesaplayıcı — Hedef hata marjından geriye doğru çalışarak ihtiyaç duyduğunuz örneklem boyutuna ulaşın.
- Z-Score Hesaplayıcı — tek bir veri noktasının bu dağılıma göre nereye düştüğünü kontrol edin.
- P-Değeri Hesaplayıcı — Bir aralığı tahmin etmek yerine belirli bir hipotezi test edin.