简短的回答
矩阵是数字的矩形网格。矩阵的加法或减法可以逐项进行，但两个矩阵的乘法是将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列组合起来——与常规乘法不同。仅当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数匹配时，两个矩阵才能相乘。
要点
- 矩阵乘法是不可交换的——A×B通常不等于B×A，甚至可能没有定义一个阶。
- A matrix only has an inverse if it's square and its determinant is nonzero; a zero determinant means the matrix is "singular" and can't be inverted.
- 将矩阵乘以单位矩阵使其保持不变——相当于将数字乘以 1 的矩阵。
- 2×2 矩阵 [[a,b],[c,d]] 的行列式是 ad − bc — 一个表明矩阵是否可逆的数字。
2×2 行列式和逆公式
det([[a,b],[c,d]]) = ad − bc
逆 = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]
如果 ad − bc 等于 0，则矩阵没有逆矩阵 - 除以行列式 0 是未定义的，就像数字除以 0 一样。
示例：两个 2×2 矩阵相乘
A = [[1,2],[3,4]] 且 B = [[5,6],[7,8]]：
A × B = [[1×5+2×7, 1×6+2×8], [3×5+4×7, 3×6+4×8]] = [[19,22],[43,50]]
B × A = [[5×1+6×3, 5×2+6×4], [7×1+8×3, 7×2+8×4]] = [[23,34],[31,46]]
A × B 和 B × A 落在完全不同的矩阵上——具体证明矩阵乘法并不像普通数字乘法那样进行交换。
当矩阵运算未定义时
| 手术 | 要求 |
|---|---|
| 加法/减法 | 两个矩阵必须具有相同的维度 |
| 乘法（A × B） | A 的列数必须等于 B 的行数 |
| 逆 | 矩阵必须是具有非零行列式的方阵 |
要避免的常见错误
- 假设 A × B 等于 B × A，就像普通数字一样——阶数会改变结果，有时甚至只定义一个阶数。
- 尝试对不同维度的矩阵进行加法或减法 - 两个矩阵都需要相同的行数和列数。
- 尝试对非方阵或行列式为 0 的矩阵求逆 — 这两种情况都没有有效的逆矩阵。
- 混淆转置（翻转行和列）与逆运算（撤销乘法的完全不同的操作）——它们解决不同的问题。