Die kurze Antwort
Die erforderliche Stichprobengröße wächst mit der gewünschten Sicherheit und verringert sich, wenn Sie eine größere Fehlertoleranz akzeptieren. Für einen Anteil ist n = (z² × p × (1−p)) ÷ e², wobei z von Ihrem Konfidenzniveau stammt, p der erwartete Anteil ist (0,5, falls unbekannt) und e Ihre akzeptable Fehlerquote ist. Engere Margen und höheres Vertrauen erhöhen beide die erforderliche Stichprobengröße, oft dramatisch.
Wichtige Erkenntnisse
- Durch die Halbierung der Fehlerspanne wird die erforderliche Stichprobengröße ungefähr vervierfacht, da e im Nenner quadriert wird.
- Die Verwendung von p = 0,5 ist die sicherste Wahl, wenn der wahre Anteil unbekannt ist, da p(1 − p) dort maximiert ist – jede andere Schätzung würde nur eine kleinere Stichprobe erfordern, wenn Sie zufällig richtig geraten hätten.
- Bei einer bekannten, endlichen Populationsgröße können Sie eine Korrektur anwenden, die die erforderliche Stichprobe für kleinere Populationen deutlich reduziert, aber kaum einen Unterschied macht, wenn die Population viel größer als die Stichprobe ist.
- Die Schätzung eines Mittelwerts erfordert eine Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit und keinen Anteil – die beiden Berechnungsarten verwenden verwandte, aber unterschiedliche Formeln.
Die Formel für den Anteil der Stichprobengröße
n = (z² × p × (1 − p)) / e²
z ergibt sich aus dem Konfidenzniveau (1,96 für 95 %), p ist der erwartete Bevölkerungsanteil und e ist die Fehlermarge, ausgedrückt als Dezimalzahl (5 % = 0,05).
Warum die Fehlerquote die Formel dominiert
| Fehlerquote | Erforderliches n (95 % Konfidenz, p = 0,5) |
|---|---|
| 10% | 97 |
| 5% | 385 |
| 2.5% | 1,537 |
| 1% | 9,604 |
Halving the margin of error roughly quadruples the sample size needed — this is why national polls typically settle for a ±3-5% margin instead of chasing ±1% precision, which would require tens of thousands of respondents.
Ausgearbeitetes Beispiel: Planung einer Umfrage
Sie möchten eine Konfidenz von 95 % und eine Fehlermarge von 5 %, ohne vorherige Schätzung des Anteils.
n = (1,96² × 0,5 × 0,5) / 0,05² = 0,9604 / 0,0025 ≈ 384,16
Aufrunden: n = 385
Bei der Stichprobengröße wird immer aufgerundet, niemals abgerundet – ein Bruchteil des Befragten ist nicht möglich, und durch Abrunden würden Sie Ihre Zielgenauigkeit knapp verfehlen.
Häufige Fehler, die es zu vermeiden gilt
- Man geht davon aus, dass eine halbierte Fehlerspanne die Stichprobengröße verdoppelt – stattdessen wird sie ungefähr vervierfacht, da e quadriert wird.
- Guessing a proportion far from 50% "to be safe" — that actually shrinks the calculated sample size, the opposite of conservative; 50% is the truly conservative (maximum) choice.
- Wenn man die endliche Bevölkerungskorrektur auf eine praktisch unendliche Bevölkerung anwendet (nationale Umfragen, Webverkehr) – ändert die Korrektur in diesem Maßstab kaum etwas.
- Verwechslung der Proportionsformel mit der Mittelwertformel – die Mittelwertversion benötigt eine Schätzung der Standardabweichung, keinen Anteil.
Verwandte Rechner
- Konfidenzintervall-Rechner — Bauen Sie den Zeitraum auf, in dem Ihre fertige Studie tatsächlich berichten wird.
- Standardabweichungsrechner — Schätzen Sie die Variabilität für die mittlere Version dieser Berechnung.
- Wahrscheinlichkeitsrechner — Erkunden Sie die Wahrscheinlichkeitskonzepte hinter Konfidenzniveaus.
- P-Wert-Rechner — Testen Sie eine Hypothese, sobald Ihre Daten erfasst sind.