Die kurze Antwort
A confidence interval is a range built around a sample statistic that's likely to contain the true population value: interval = point estimate ± (critical value × standard error). A 95% confidence interval means that if you repeated the sampling process many times, about 95% of the intervals you'd build would contain the true population parameter — not that there's a 95% chance the true value sits inside this one specific interval.
Wichtige Erkenntnisse
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Verwenden Sie die Z-Verteilung, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist oder die Stichprobe groß ist (n ≥ 30); Verwenden Sie die t-Verteilung, wenn σ aus einer kleinen Stichprobe geschätzt wird.
- Eine Vervierfachung der Stichprobengröße halbiert nur die Fehlerspanne, da der Standardfehler mit der Quadratwurzel von n und nicht mit n selbst kleiner wird.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
Die Konfidenzintervallformel
Mittelwert (σ bekannt): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Anteil: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Vertrauensniveau | z kritischer Wert |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z vs. t: Welcher kritische Wert soll verwendet werden?
| Zustand | Verwenden | Warum |
|---|---|---|
| σ bekannt, jede Stichprobengröße | z | Es gilt genau die Standardnormalverteilung |
| σ unbekannt, n ≥ 30 | z (ca.) | Große Stichproben machen t nahezu identisch mit z |
| p unbekannt, n < 30 | t | Dickere Enden sorgen für zusätzliche Unsicherheit bei der Schätzung von σ |
Arbeitsbeispiel: 95 %-Intervall für einen Stichprobenmittelwert
Stichprobenmittelwert x̄ = 50,5, Stichprobengröße n = 100, Standardabweichung σ = 10,5, Konfidenzniveau = 95 %.
Standard error = σ / √n = 10.5 / √100 = 1.05
Fehlermarge = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06
95 % KI = 50,5 ± 2,06 = [48,44, 52,56]
We'd say we are 95% confident the true population mean falls between 48.44 and 52.56 — meaning this method captures the true mean in about 95% of samples drawn the same way, not that this specific interval has a 95% chance of being right.
Häufige Fehler, die es zu vermeiden gilt
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Wenn z verwendet wird, wenn die Stichprobe klein ist und σ unbekannt ist, gibt es die dickeren Ausläufer der t-Verteilung speziell, um dieser zusätzlichen Unsicherheit Rechnung zu tragen.
- Angenommen, eine Verdoppelung der Stichprobengröße halbiert die Fehlerspanne – tatsächlich ist eine Vervierfachung von n erforderlich, um die Spanne zu halbieren, da der Standardfehler mit √n kleiner wird.
- Für Vergessensproportions-Konfidenzintervalle muss p̂ zwischen 0 und 1 liegen und kann sich bei kleinen Stichproben in der Nähe von 0 oder 1 schlecht verhalten.
Verwandte Rechner
- Standardabweichungsrechner — Berechnen Sie σ aus Rohdaten, bevor Sie ein Intervall darum herum erstellen.
- Rechner für die Stichprobengröße — Arbeiten Sie rückwärts von einer Zielfehlerspanne bis zur benötigten Stichprobengröße.
- Z-Score-Rechner — Überprüfen Sie, wo ein einzelner Datenpunkt relativ zu dieser Verteilung liegt.
- P-Wert-Rechner — Testen Sie eine bestimmte Hypothese, anstatt einen Bereich abzuschätzen.