Schnelle Antwort
Ein Z-Score sagt Ihnen, um wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt: z = (X − μ) / σ. Geben Sie einen Rohwert mit Mittelwert und Standardabweichung ein, um den Z-Wert zu erhalten, oder arbeiten Sie rückwärts von einem bekannten Z-Wert, um den Rohwert, das Perzentil und die Wahrscheinlichkeit unter der Normalkurve zu ermitteln.
Wichtige Erkenntnisse
- Ein Z-Score von 0 bedeutet, dass der Wert genau dem Mittelwert entspricht; positives z liegt über dem Mittelwert, negatives z liegt darunter.
- Z-Scores standardisieren jeden normalverteilten Datensatz auf eine gemeinsame Skala und ermöglichen Ihnen den Vergleich von Werten, die in völlig unterschiedlichen Einheiten gemessen wurden.
- The empirical rule states roughly 68% of values fall within ±1 SD, 95% within ±2 SD, and 99.7% within ±3 SD of the mean.
- Perzentil und Z-Score sind verwandt, aber unterschiedlich – ein Z-Score von 1 entspricht etwa dem 84. Perzentil, nicht dem 1.
Die Z-Score-Formel, funktionierendes Beispiel
z = (X − μ) / σ
Beispiel: Rohwert X = 75, Mittelwert μ = 70, Standardabweichung σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0,5
- Ein Z-Score von 0,5 bedeutet, dass der Score eine halbe Standardabweichung über dem Mittelwert liegt.
- Looking up z = 0.5 on the standard normal distribution gives a percentile of about 69.1% — the score beats roughly 69% of the distribution.
Z-Scores, Perzentile und die empirische Regel
Für jede Normalverteilung beschreibt die empirische Regel (68-95-99,7-Regel), wie viele Daten in jedes Band von Standardabweichungen fallen:
| Reichweite | Ungefähr % der Daten |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Vergleich der Ergebnisse verschiedener Skalen
Mit Z-Scores können Sie die Leistung bei Tests mit völlig unterschiedlichen Bewertungsskalen vergleichen. Angenommen, Student A erreicht beim SAT 1350 Punkte (Mittelwert 1050, SD 200) und Student B erreicht beim ACT 30 Punkte (Mittelwert 21, SD 5):
- Schüler A: z = (1350 − 1050) / 200 = 1,5
- Schüler B: z = (30 − 21) / 5 = 1,8
Auch wenn die Rohwerte unabhängige Skalen verwenden, bedeutet der höhere Z-Wert von Schüler B, dass er im Vergleich zur Punkteverteilung seines eigenen Tests besser abgeschnitten hat.
Häufige Fehler
- Behandeln Sie einen Z-Score direkt so, als wäre er ein Perzentil – ein Z-Score von 1 ist ungefähr das 84. Perzentil, nicht das 1.
- Wenn man linke, rechte und zweiseitige Wahrscheinlichkeit verwechselt, beantwortet jede eine andere Frage darüber, wo ein Wert liegt.
- Anwenden von Z-Scores und der empirischen Regel auf Daten, die nicht annähernd normalverteilt sind und bei denen die Prozentsätze nicht mehr gelten.
- Weglassen des Vorzeichens eines negativen Z-Scores, der umkehrt, ob ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt.
Verwandte Rechner
- Standardabweichungsrechner — zur Berechnung von σ aus einem Rohdatensatz
- Konfidenzintervall-Rechner — zum Schätzen eines Bereichs um eine Stichprobenstatistik
- P-Wert-Rechner — für die Hypothesentestsignifikanz anhand einer Teststatistik
- Statistikrechner — für einen vollständigen Satz deskriptiver Statistiken zu Ihren Daten