La respuesta corta
Las permutaciones cuentan arreglos donde el orden importa (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); las combinaciones cuentan selecciones donde el orden no (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!)). Elegir un podio de carrera de 3 lugares entre 10 corredores es una permutación: P(10,3) = 720 ordenaciones diferentes. Elegir un comité de 3 personas entre las mismas 10 personas es una combinación: C(10,3) = 120, ya que a los miembros del comité no les importa el orden.
Conclusiones clave
- Las combinaciones siempre son más pequeñas (o iguales) que la permutación coincidente, ya que C(n,r) = P(n,r) ÷ r! — dividiendo todas las formas de reordenar el mismo grupo.
- C(n,r) = C(n, n−r): elegir qué r elementos incluir equivale a elegir qué n−r elementos omitir.
- Cuando r = n, ambos se reducen a contar los n elementos: ¡P(n,n) = n! y C(norte,norte) = 1.
- Los factoriales crecen extremadamente rápido, por lo que P(n,r) y C(n,r) pueden llegar a ser astronómicamente grandes incluso para valores modestos de n y r.
Las fórmulas de permutación y combinación.
| Concepto | Fórmula | ¿El orden importa? |
|---|---|---|
| Permutación | P(n,r) = n! / (n−r)! | Sí |
| Combinación | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | No |
Ejemplo resuelto: orden de carrera vs. selección del comité
Con 10 corredores (n = 10), eligiendo 3 (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (ordenaciones oro/plata/bronce)
C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (comités de 3 personas)
¡Cada grupo de 3 corredores corresponde a 3! = 6 órdenes de podio diferentes (quién obtuvo oro, plata, bronce), que es exactamente por qué el recuento de permutaciones (720) es 6 veces el recuento de combinaciones (120).
La regla de simetría para combinaciones.
C(8,2) = C(8,6) = 28
Elegir 2 personas de 8 para incluirlas en un grupo produce exactamente el mismo recuento que elegir 6 personas para excluir: son dos formas de describir la misma división. Esta simetría, C(n,r) = C(n, n−r), puede ahorrar esfuerzo de cálculo: si r es más de la mitad de n, normalmente es más rápido calcular C(n, n−r).
Errores comunes a evitar
- Usar la fórmula de permutación cuando el orden realmente no importa: esto infla el recuento real en un factor de r!.
- Olvidar que r no puede exceder n: no hay forma de organizar o seleccionar más elementos de los que existen en el grupo.
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- Perder la pista de r en problemas de selección de múltiples etapas: olvidarse de reducir el grupo restante después de cada etapa ya elegida.
Calculadoras relacionadas
- Calculadora de probabilidad — convertir un conteo de permutación o combinación en una probabilidad real.
- Calculadora de números grandes — manejar los enormes factoriales que pueden producir los valores grandes de n y r.
- Calculadora de notación científica — expresar resultados de permutaciones o combinaciones muy grandes de forma compacta.
- Calculadora de estadísticas — Aplicar los resultados del conteo a un análisis estadístico más amplio.