La réponse courte
Les permutations comptent les arrangements où l'ordre compte (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); les combinaisons comptent les sélections là où l'ordre ne compte pas (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!)). Choisir un podium de 3 places parmi 10 coureurs est une permutation — P(10,3) = 720 classements différents. Choisir un comité de 3 personnes parmi les mêmes 10 personnes est une combinaison — C(10,3) = 120, puisque la composition du comité ne se soucie pas de l'ordre.
Points clés à retenir
- Les combinaisons sont toujours inférieures (ou égales) à la permutation correspondante, puisque C(n,r) = P(n,r) ÷ r ! - diviser toutes les manières de réorganiser le même groupe.
- C(n,r) = C(n, n−r) — choisir les r éléments à inclure équivaut à choisir les n−r éléments à omettre.
- Lorsque r = n, les deux se réduisent à compter tous les n éléments : P(n,n) = n ! et C(n,n) = 1.
- Les factorielles croissent extrêmement rapidement, donc P(n,r) et C(n,r) peuvent devenir astronomiquement grands même pour des valeurs modestes de n et r.
Les formules de permutation et de combinaison
| Concept | Formule | L’ordre est important ? |
|---|---|---|
| Permutation | P(n,r) = n! / (n−r)! | Oui |
| Combinaison | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | Non |
Exemple concret : ordre de course vs sélection du comité
Avec 10 coureurs (n = 10), en choisissant 3 (r = 3) :
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (commandes or/argent/bronze)
C(10,3) = 720 ÷ 3 ! = 720 ÷ 6 = 120 (comités de 3 personnes)
Chaque groupe de 3 coureurs correspond à 3 ! = 6 classements différents sur le podium (qui ont obtenu l'or, l'argent, le bronze), c'est exactement pourquoi le nombre de permutations (720) est 6 fois le nombre de combinaisons (120).
La règle de symétrie pour les combinaisons
C(8,2) = C(8,6) = 28
Choisir 2 personnes sur 8 à inclure dans un groupe produit exactement le même nombre que choisir les 6 personnes à exclure : ce sont deux façons de décrire la même répartition. Cette symétrie, C(n,r) = C(n, n−r), peut économiser des efforts de calcul : si r est supérieur à la moitié de n, il est généralement plus rapide de calculer C(n, n−r) à la place.
Erreurs courantes à éviter
- Utiliser la formule de permutation lorsque l'ordre n'a vraiment pas d'importance - cela gonfle le nombre réel d'un facteur r !.
- En oubliant que r ne peut pas dépasser n — il n'y a aucun moyen d'organiser ou de sélectionner plus d'éléments qu'il n'en existe dans le groupe.
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- Perdre la trace de r dans les problèmes de sélection à plusieurs étapes — oublier de réduire le pool restant après chaque étape déjà choisie.
Calculatrices associées
- Calculateur de probabilité — transformer un nombre de permutations ou de combinaisons en une probabilité réelle.
- Calculateur de grands nombres — gérer les énormes factorielles que les grandes valeurs n et r peuvent produire.
- Calculatrice de notation scientifique — exprimer de très grandes permutations ou résultats de combinaison de manière compacte.
- Calculateur de statistiques — appliquer les résultats du comptage à une analyse statistique plus large.