संक्षिप्त उत्तर
यूक्लिडियन एल्गोरिदम दो संख्याओं के जीसीएफ को बार-बार विभाजित करके पाता है: बड़े को छोटे से विभाजित करें, बड़े को शेष के साथ बदलें, और तब तक दोहराएं जब तक कि शेष 0 तक न पहुंच जाए - अंतिम गैर-शून्य शेष जीसीएफ है। 48 और 18 के लिए: 48÷18 शेष 12 छोड़ता है, 18÷12 शेष 6 छोड़ता है, 12÷6 शेष 0 छोड़ता है, इसलिए जीसीएफ 6 है। यह हर कारक को सूचीबद्ध किए बिना, बहुत बड़ी संख्याओं के लिए भी कुछ चरणों में उत्तर ढूंढता है।
चाबी छीनना
- यूक्लिडियन एल्गोरिदम कम संख्या में चरणों में जीसीएफ ढूंढता है, चाहे संख्या कितनी भी बड़ी हो - पहले प्रत्येक कारक को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है।
- किन्हीं दो संख्याओं के लिए, जीसीएफ × एलसीएम दो संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है - एक बार आपके पास दूसरा परिणाम आ जाने पर विवेक की जांच करने का एक त्वरित तरीका।
- जीसीएफ और एलसीएम दोनों एक समय में दो को मिलाकर तीन या अधिक संख्याओं तक विस्तारित होते हैं, न कि उन सभी पर एक साथ एक सूत्र लागू करने से।
- जीसीएफ और एचसीएफ (उच्चतम सामान्य कारक) एक ही मान का नाम देते हैं - अंतर क्षेत्रीय शब्दावली का है, गणित का नहीं।
यूक्लिडियन एल्गोरिथम चरण दर चरण
| कदम | विभाजन | शेष |
|---|---|---|
| 1 | 48 ÷ 18 = 2 | 12 |
| 2 | 18 ÷ 12 = 1 | 6 |
| 3 | 12 ÷ 6 = 2 | 0 (रुकना) |
अंतिम शून्येतर शेषफल - 6 - जीसीएफ है। प्रत्येक चरण संख्याओं की जोड़ी को एक छोटी जोड़ी से बदल देता है जो समान जीसीएफ साझा करती है, इसलिए एल्गोरिदम हमेशा तेजी से परिवर्तित होता है, आमतौर पर किसी भी संख्या के आकार के सुझाव से कहीं कम चरणों में।
जीसीएफ-एलसीएम संबंध
जीसीएफ(ए, बी) × एलसीएम(ए, बी) = ए × बी
एक बार जब आप दो संख्याओं का जीसीएफ जान लेते हैं, तो आप अलग गणना के बिना एलसीएम पा सकते हैं: एलसीएम = (ए × बी) ÷ जीसीएफ। यह शॉर्टकट केवल दो संख्याओं पर लागू होता है - तीन या अधिक के लिए, जीसीएफ और एलसीएम प्रत्येक को एक समय में दो संख्याओं को मिलाकर बनाया जाना चाहिए।
कार्यान्वित उदाहरण: 48 और 18 का जीसीएफ और एलसीएम
जीसीएफ(48, 18) = 6 (उपरोक्त यूक्लिडियन एल्गोरिथम से)
एलसीएम(48, 18) = (48 × 18) ÷ 6 = 864 ÷ 6 = 144
दोनों उत्तरों को अभाज्य गुणनखंडन के साथ दोबारा जांचा जा सकता है: 48 = 2⁴ × 3 और 18 = 2 × 3²। जीसीएफ प्रत्येक साझा अभाज्य (2¹ × 3¹ = 6) की सबसे कम शक्ति लेता है, जबकि एलसीएम इसमें शामिल प्रत्येक अभाज्य की उच्चतम शक्ति लेता है (2⁴ × 3² = 144) - यूक्लिडियन और सूत्र-आधारित परिणामों से बिल्कुल मेल खाता है।
बचने योग्य सामान्य गलतियाँ
- यूक्लिडियन एल्गोरिदम को सीधे तीन या अधिक संख्याओं पर लागू करना - इसके बजाय, पहले जीसीएफ (ए, बी) ढूंढें, फिर सी के साथ उस परिणाम का जीसीएफ ढूंढें, और इसी तरह।
- यह मानते हुए कि जीसीएफ × एलसीएम = ए × बी तीन या अधिक संख्याओं तक विस्तारित है - यह पहचान केवल दो के लिए ही गारंटी है।
- यह मिश्रण करना कि किसी शब्द समस्या को वास्तव में किसकी आवश्यकता है - जीसीएफ समान समूहों में विभाजित करने के लिए है, एलसीएम घटनाओं को दोहराते समय खोजने के लिए है।
- Stopping the Euclidean algorithm early because a remainder looks "small enough" — keep dividing until the remainder is exactly 0.
संबंधित कैलकुलेटर
- न्यूनतम सामान्य एकाधिक कैलकुलेटर — अपनी चरण-दर-चरण पद्धति के साथ एक समर्पित एलसीएम उपकरण प्राप्त करें।
- सामान्य कारक कैलक्यूलेटर — प्रत्येक साझा कारक को देखें, न कि केवल सबसे बड़े कारक को।
- कारक कैलक्यूलेटर — किसी एक संख्या के प्रत्येक गुणनखंड को सूचीबद्ध करें।
- भिन्न कैलकुलेटर — किसी भिन्न को सीधे सरल बनाने के कार्य में GCF लगाएं।