短い答え
順列は、順序が重要な配置をカウントします (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!)。組み合わせは、順序が関係しない選択をカウントします (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!))。 10 人のランナーから 3 位のレース表彰台を選択することは順列であり、P(10,3) = 720 通りの異なる順序になります。同じ 10 人から 3 人の委員会を選択することは、組み合わせになります。委員会のメンバーシップは順序を気にしないため、C(10,3) = 120 となります。
重要なポイント
- C(n,r) = P(n,r) ÷ r! であるため、組み合わせは常に一致する順列より小さい (または等しい) ことになります。 — 同じグループを並べ替えるすべての方法を分割します。
- C(n,r) = C(n, n−r) — どの r 項目を含めるかを選択することは、どの n−r 項目を除外するかを選択することと同じです。
- r = n の場合、どちらも n 個の項目をすべてカウントすることになります: P(n,n) = n!そしてC(n,n) = 1。
- 階乗は非常に速く成長するため、n と r の値が控えめであっても、P(n,r) と C(n,r) は天文学的に大きくなる可能性があります。
順列と組み合わせの公式
| コンセプト | 式 | 順序は重要ですか？ |
|---|---|---|
| 順列 | P(n,r) = n! / (n−r)! | はい |
| 組み合わせ | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | いいえ |
実際の例: レースの順番と委員会の選択
ランナーが 10 人 (n = 10) の場合、3 つを選択します (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (ゴールド/シルバー/ブロンズの注文)
C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (3人委員会)
3 人のランナーの各グループは 3 に対応します。 = 6 つの異なる表彰台の順位 (誰が金、銀、銅を獲得したか)。これがまさに、順列数 (720) が組み合わせ数 (120) の 6 倍である理由です。
組み合わせの対称性の法則
C(8,2) = C(8,6) = 28
グループに含める 8 人から 2 人を選択すると、除外する 6 人を選択するのとまったく同じ数が生成されます。これらは、同じ分割を表す 2 つの方法です。この対称性 C(n,r) = C(n, n−r) により計算の労力を節約できます。r が n の半分より大きい場合、通常は代わりに C(n, n−r) を計算する方が高速です。
避けるべきよくある間違い
- 順序が本当に重要でない場合は、順列公式を使用します。これにより、実際の数が r! 倍になります。
- r が n を超えることはできないことを忘れてください。グループ内に存在する以上の項目を配置したり選択したりする方法はありません。
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- 複数段階の選択問題で r を追跡できなくなります。すでに選択されている各段階の後に残りのプールを減らすのを忘れます。