คำตอบสั้นๆ
การเรียงสับเปลี่ยนนับการจัดเตรียมโดยที่คำสั่งซื้อมีความสำคัญ (P(n,r) = n! τ (n−r)!); ชุดค่าผสมจะนับการเลือกโดยที่ลำดับไม่ (C(n,r) = n! ۞ (r!(n−r)!)) การเลือกโพเดียมการแข่งขัน 3 อันดับจากนักวิ่ง 10 คนเป็นการเรียงสับเปลี่ยน — P(10,3) = 720 ลำดับที่แตกต่างกัน การเลือกคณะกรรมการ 3 คนจาก 10 คนเดียวกันนั้นเป็นการรวมกัน — C(10,3) = 120 เนื่องจากการเป็นสมาชิกคณะกรรมการไม่สนใจเรื่องระเบียบ
ประเด็นสำคัญ
- ชุดค่าผสมจะมีค่าน้อยกว่า (หรือเท่ากับ) การเรียงสับเปลี่ยนที่ตรงกันเสมอ เนื่องจาก C(n,r) = P(n,r) τ r! — แบ่งวิธีการจัดกลุ่มใหม่ทั้งหมด
- C(n,r) = C(n, n−r) — การเลือกรายการ r ที่จะรวมไว้จะเท่ากับการเลือกรายการ n−r ที่จะละเว้น
- เมื่อ r = n ทั้งสองลดจนนับทั้งหมด n รายการ: P(n,n) = n! และ C(n,n) = 1
- แฟกทอเรียลเติบโตเร็วมาก ดังนั้น P(n,r) และ C(n,r) จึงสามารถมีขนาดใหญ่มากทางดาราศาสตร์ได้แม้ค่าเล็กน้อยของ n และ r ก็ตาม
สูตรการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน
| แนวคิด | สูตร | เรื่องการสั่งซื้อ? |
|---|---|---|
| การเรียงสับเปลี่ยน | P(n,r) = n! / (n−r)! | ใช่ |
| การผสมผสาน | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | เลขที่ |
ตัวอย่างการทำงาน: ลำดับการแข่งขันกับการเลือกคณะกรรมการ
มีนักวิ่ง 10 คน (n = 10) เลือก 3 คน (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (ลำดับทองคำ/เงิน/ทองแดง)
ค(10,3) = 720 ۞ 3! = 720 ۞ 6 = 120 (คณะกรรมการ 3 คน)
นักวิ่ง 3 คนทุกกลุ่มจะมี 3 คน! = การเรียงลำดับโพเดียมที่แตกต่างกัน 6 รายการ (ผู้ที่ได้รับทอง เงิน ทองแดง) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมการเรียงสับเปลี่ยน (720) จึงเป็น 6 เท่าของจำนวนการรวมกัน (120)
กฎสมมาตรสำหรับการรวมกัน
ค(8,2) = ค(8,6) = 28
การเลือก 2 คนจาก 8 คนเพื่อรวมเข้ากลุ่มจะทำให้การนับเหมือนกันทุกประการกับการเลือก 6 คนที่จะแยกออก ทั้งสองวิธีในการอธิบายการแบ่งแยกเดียวกัน ความสมมาตรนี้ C(n,r) = C(n, n−r) สามารถประหยัดแรงในการคำนวณได้ ถ้า r มากกว่าครึ่งหนึ่งของ n โดยปกติแล้วจะเร็วกว่าในการคำนวณ C(n, n−r) แทน
ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง
- การใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนเมื่อลำดับจริงๆ ไม่สำคัญ เพราะจะทำให้จำนวนจริงเพิ่มขึ้นด้วยตัวประกอบของ r!
- ลืมไปว่า r ต้องไม่เกิน n ไม่มีวิธีจัดเรียงหรือเลือกรายการมากกว่าที่มีอยู่ในกลุ่ม
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- สูญเสียการติดตาม r ในปัญหาการเลือกแบบหลายขั้นตอน — ลืมที่จะลดพูลที่เหลือหลังจากแต่ละขั้นตอนที่เลือกไว้แล้ว
เครื่องคิดเลขที่เกี่ยวข้อง
- เครื่องคำนวณความน่าจะเป็น — เปลี่ยนการเรียงสับเปลี่ยนหรือการนับรวมกันให้เป็นความน่าจะเป็นที่แท้จริง
- เครื่องคิดเลขจำนวนมาก — จัดการกับแฟกทอเรียลขนาดใหญ่ที่สร้างค่า n และ r ขนาดใหญ่ได้
- เครื่องคิดเลขสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ — แสดงผลลัพธ์การเรียงสับเปลี่ยนหรือการรวมที่มีขนาดใหญ่มากอย่างกะทัดรัด
- เครื่องคำนวณสถิติ — ใช้ผลการนับเพื่อการวิเคราะห์ทางสถิติที่กว้างขึ้น