Коротка відповідь
Перестановки підраховують розташування, де порядок має значення (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); комбінації підраховують вибірки, де порядок не відповідає (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!)). Вибір 3-місцевого подіуму з 10 учасників є перестановкою — P(10,3) = 720 різних порядків. Вибір комітету з 3 осіб з тих самих 10 осіб є комбінацією — C(10,3) = 120, оскільки членство в комітеті не піклується про порядок.
Ключові висновки
- Комбінації завжди менші (або дорівнюють) відповідній перестановці, оскільки C(n,r) = P(n,r) ÷ r! — розділення всіх способів перевпорядкування однієї групи.
- C(n,r) = C(n, n−r) — вибір r елементів для включення еквівалентний вибору n−r елементів для виключення.
- Коли r = n, обидва зводяться до підрахунку всіх n елементів: P(n,n) = n! і C(n,n) = 1.
- Факторіелі ростуть надзвичайно швидко, тому P(n,r) і C(n,r) можуть стати астрономічними навіть для скромних значень n і r.
Формули перестановки та комбінування
| Концепція | Формула | Порядок має значення? |
|---|---|---|
| Перестановка | P(n,r) = n! / (n−r)! | так |
| Комбінація | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | немає |
Спрацьований приклад: порядок перегонів проти вибору комітету
З 10 учасниками (n = 10), вибравши 3 (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (порядки золота/срібла/бронзи)
C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (комітети з 3 осіб)
Кожна група з 3 бігунів відповідає 3! = 6 різних подіумів (які отримали золото, срібло, бронзу), саме тому кількість перестановок (720) у 6 разів перевищує кількість комбінацій (120).
Правило симетрії для комбінацій
C(8,2) = C(8,6) = 28
Вибір 2 осіб із 8 для включення в групу призводить до того ж підрахунку, що й вибір 6 осіб для виключення — це два способи описати той самий поділ. Ця симетрія, C(n,r) = C(n, n−r), може заощадити зусилля на обчисленнях: якщо r більше половини n, замість цього зазвичай швидше обчислити C(n, n−r).
Поширені помилки, яких слід уникати
- Використання формули перестановки, коли порядок справді не має значення — це збільшує справжній підрахунок на коефіцієнт r!.
- Forgetting that r cannot exceed n — there's no way to arrange or select more items than exist in the group.
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- Втрачається відстеження r у задачах багатоетапного вибору — забувається зменшити пул, що залишився після кожного вже вибраного етапу.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор ймовірностей — перетворити кількість перестановок або комбінацій на фактичну ймовірність.
- Калькулятор великих чисел — обробляти величезні факторіали, які можуть створити великі значення n і r.
- Калькулятор наукової нотації — компактно виражати дуже великі результати перестановки або комбінації.
- Калькулятор статистики — застосувати результати підрахунку до більш широкого статистичного аналізу.