Коротка відповідь
Довірчий інтервал – це діапазон, побудований навколо вибіркової статистики, яка, ймовірно, міститиме справжнє значення сукупності: інтервал = точкова оцінка ± (критичне значення × стандартна помилка). 95% довірчого інтервалу означає, що якщо ви повторюєте процес вибірки багато разів, приблизно 95% інтервалів, які ви б побудували, міститимуть справжній параметр генеральної сукупності — не те, що існує 95% шансів, що справжнє значення знаходиться в цьому одному конкретному інтервалі.
Ключові висновки
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Використовуйте z-розподіл, якщо відоме стандартне відхилення сукупності або вибірка велика (n ≥ 30); використовувати t-розподіл, коли σ оцінюється з невеликої вибірки.
- Збільшення розміру вибірки вчетверо зменшує похибку лише вдвічі, оскільки стандартна похибка зменшується разом із квадратним коренем із n, а не із самим n.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
Формула довірчого інтервалу
Середнє (σ відомо): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Пропорція: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Рівень довіри | z критичне значення |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z проти t: яке критичне значення використовувати
| Хвороба | використання | чому |
|---|---|---|
| σ відомий, будь-який розмір вибірки | z | Стандартний нормальний розподіл застосовується точно |
| σ невідомо, n ≥ 30 | z (прибл.) | Великі вибірки роблять t майже ідентичним z |
| p невідомо, n < 30 | t | Більш товсті хвости пояснюють додаткову невизначеність в оцінці σ |
Спрацьований приклад: 95% інтервал для вибіркового середнього
Середнє значення вибірки x̄ = 50,5, розмір вибірки n = 100, стандартне відхилення σ = 10,5, рівень довіри = 95%.
Стандартна похибка = σ / √n = 10,5 / √100 = 1,05
Похибка = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06
95% ДІ = 50,5 ± 2,06 = [48,44, 52,56]
Ми б сказали, що ми на 95% впевнені, що справжнє середнє значення сукупності падає між 48,44 і 52,56 — це означає, що цей метод фіксує справжнє середнє приблизно в 95% зразків, відібраних однаково, а не те, що цей конкретний інтервал має 95% шансів бути правильним.
Поширені помилки, яких слід уникати
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Використання z, коли вибірка невелика, а σ невідоме — товщі хвости t-розподілу існують спеціально для врахування цієї додаткової невизначеності.
- Якщо припустити, що подвоєння розміру вибірки зменшує похибку вдвічі — насправді потрібно збільшити n учетверо, щоб зменшити похибку вдвічі, оскільки стандартна похибка зменшується на √n.
- Якщо забувати пропорційні довірчі інтервали, потрібне значення p̂ між 0 і 1 і може погано поводитися поблизу 0 або 1 з малими вибірками.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор стандартного відхилення — обчислити σ із необроблених даних, перш ніж будувати інтервал навколо нього.
- Калькулятор розміру вибірки — працювати у зворотному напрямку від цільової межі похибки до потрібного розміру вибірки.
- Калькулятор Z-Score — перевірити, де окрема точка даних потрапляє відносно цього розподілу.
- Калькулятор P-value — перевіряти конкретну гіпотезу, а не оцінювати діапазон.