Швидка відповідь
Z-показник показує, на скільки стандартних відхилень значення знаходиться вище або нижче середнього: z = (X − μ) / σ. Enter a raw score with the mean and standard deviation to get the z-score, or work backward from a known z-score to find the raw score, percentile, and probability under the normal curve.
Ключові висновки
- Z-оцінка 0 означає, що значення точно дорівнює середньому; позитивне z вище середнього, негативне z нижче.
- Z-оцінки стандартизують будь-який нормально розподілений набір даних у загальній шкалі, дозволяючи порівнювати значення, виміряні в абсолютно різних одиницях.
- Емпіричне правило стверджує, що приблизно 68% значень знаходяться в межах ±1 SD, 95% - в межах ±2 SD, і 99,7% - в межах ±3 SD від середнього.
- Процентиль і z-показник пов’язані, але різні — z-показник 1 відповідає приблизно 84-му процентилю, а не 1-му.
Формула z-показника, робочий приклад
z = (X − μ) / σ
Приклад: необроблений бал X = 75, середнє значення μ = 70, стандартне відхилення σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0,5
- Z-оцінка 0,5 означає, що оцінка на половину стандартного відхилення перевищує середнє значення.
- Перегляд z = 0,5 на стандартному нормальному розподілі дає процентиль приблизно 69,1% — результат перевищує приблизно 69% розподілу.
Z-показники, процентилі та емпіричне правило
Для будь-якого нормального розподілу емпіричне правило (правило 68-95-99.7) описує, скільки даних потрапляє в кожну смугу стандартних відхилень:
| Діапазон | Приблизно % даних |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Порівняння оцінок за різними шкалами
Z-оцінки дозволяють порівнювати ефективність тестів із абсолютно різними шкалами. Припустімо, що учень А набрав 1350 балів за SAT (середній бал 1050, SD 200), а студент Б набрав 30 балів за ACT (середній бал 21, SD 5):
- Учень А: z = (1350 − 1050) / 200 = 1,5
- Учень Б: z = (30 − 21) / 5 = 1,8
Незважаючи на те, що вихідні бали використовують непов’язані шкали, вищий z-бал у студента B означає, що вони показали кращі результати порівняно з розподілом балів у власному тесті.
Поширені помилки
- Розглядаючи z-показник так, ніби він був безпосередньо процентилем — z-показник 1 є приблизно 84-м процентилем, а не 1-м.
- Змішування лівого хвоста, правого хвоста та двосторонньої ймовірності — кожна відповідає на різні запитання про те, куди потрапляє значення.
- Застосування z-показників і емпіричного правила до даних, які не є приблизно нормально розподіленими, де відсотки більше не актуальні.
- Скасування знака від’ємного z-показника, який змінює значення вище або нижче середнього значення.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор стандартного відхилення — для обчислення σ із необробленого набору даних
- Калькулятор довірчого інтервалу — для оцінки діапазону навколо вибіркової статистики
- Калькулятор P-value — для перевірки гіпотез значущість тестової статистики
- Калькулятор статистики — для повного набору описової статистики ваших даних