Коротка відповідь
Теорема Піфагора говорить, що a² + b² = c² для будь-якого прямокутного трикутника, де c — гіпотенуза (найдовша сторона, протилежна прямому куту), а a, b — два катети. Дано будь-які дві сторони, знайдіть третю: c = √(a²+b²), щоб знайти гіпотенузу, або a = √(c²−b²), щоб знайти катет.
Ключові висновки
- Теорема застосовна лише до прямокутних трикутників — трикутників з рівно одним кутом 90°.
- Гіпотенуза завжди є найдовшою стороною і завжди стоїть окремо з одного боку рівняння, ніколи не поєднуючись із катетом під тим самим квадратним коренем.
- Піфагорові трійки (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) — це розв’язки цілих чисел, які постійно з’являються в геометричних задачах і конструкціях реального світу.
- Множення кожної сторони піфагорової трійки на одне й те саме число дає іншу дійсну трійку — 6-8-10 і 9-12-15 обидва мають масштаб 3-4-5.
Розв’язування для кожної сторони
| Невідомий | Формула |
|---|---|
| c (гіпотенуза) | c = √(a² + b²) |
| а (нога) | a = √(c² − b²) |
| б (нога) | b = √(c² − a²) |
Розв’язування катета завжди віднімає під квадратний корінь, ніколи не додає — катет коротший за гіпотенузу, тому вилучення внеску іншого катета з c² — це те, що повертає його.
Звичайні трійки Піфагора
| Тримісний | Перевірте |
|---|---|
| 3-4-5 | 9 + 16 = 25 |
| 5-12-13 | 25 + 144 = 169 |
| 8-15-17 | 64 + 225 = 289 |
| 7-24-25 | 49 + 576 = 625 |
Спрацьований приклад: правило побудови 3-4-5
3² + 4² = 9 + 16 = 25
√25 = 5
Будівельники вимірюють 3 фути вздовж однієї стіни та 4 фути вздовж перпендикулярної стіни з того самого кута, а потім перевіряють діагональ між цими двома точками. Діагональ рівно 5 футів підтверджує справжній прямий кут — не потрібен ні транспортир, ні кутошукач, лише рулетка та ось одна ідентичність.
Поширені помилки, яких слід уникати
- Застосовуючи a² + b² = c² до трикутника, який насправді не є прямим, тотожність просто не виконується без справжнього кута 90°.
- Додавання замість віднімання при розв’язанні катета — катет походить від c² − (інша нога)², а не c² + (інша нога)².
- Неправильне позначення того, яка сторона є гіпотенузою — це завжди сторона, протилежна прямому куту, і завжди найдовша, незалежно від того, як намальовано чи повернуто трикутник.
- Змішування одиниць перед зведенням у квадрат — кожна сторона має бути в одній одиниці (усі фути або всі метри), перш ніж формула дасть значущий результат.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор прямокутного трикутника — розв’яжіть кути та площу на додаток до відсутньої сторони.
- Калькулятор відстані — подивіться ту саму теорему, застосовану до координатних точок замість сторін трикутника.
- Калькулятор трикутників — працювати з трикутниками, які не є прямими.
- Калькулятор коренів — ще раз перевірте квадратний корінь вручну.