Коротка відповідь
Прямокутний трикутник має один кут 90°, проти якого завжди знаходиться гіпотенуза (і завжди найдовша сторона). Тригонометрія з’єднує гострі кути зі співвідношеннями сторін: sin θ = протилежний/гіпотенуза, cos θ = сусідній/гіпотенуза, tan θ = протилежний/суміжний (SOH-CAH-TOA). Дано будь-які дві сторони або одну сторону та один гострий кут, ви можете вирішити все інше.
Ключові висновки
- Сума двох гострих кутів у прямокутному трикутнику завжди дорівнює 90° — знайдіть один, а другий миттєво слідує шляхом віднімання.
- SOH-CAH-TOA — це інструмент для розв’язування трикутника, коли вам відомий кут плюс одна сторона, а не дві сторони — натомість у цьому випадку потрібна теорема Піфагора.
- Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку двох катетів: A = ½ab, оскільки самі катети вже утворюють прямий кут.
- У трикутника ніколи не може бути двох прямих кутів — сума трьох кутів має становити 180°, не залишаючи місця для другого 90°.
SOH-CAH-TOA з першого погляду
| співвідношення | Формула | Мнемотехніка |
|---|---|---|
| sin θ | opposite / hypotenuse | SOH |
| cos θ | adjacent / hypotenuse | CAH |
| tan θ | opposite / adjacent | TOA |
Відпрацьований приклад: розв’язування з кута та сторони
Кут A = 30°, гіпотенуза c = 10. Знайдіть обидва катети та кут, що залишився.
a = c × sin(30°) = 10 × 0,5 = 5
b = c × cos(30°) = 10 × 0,866 ≈ 8,66
Кут B = 90° − 30° = 60°
Перевірте за теоремою Піфагора: 5² + 8,66² ≈ 25 + 75 = 100 = 10² — підтвердьте, що тригонометричний результат узгоджується зі сторонами трикутника.
Формули площі та периметра
Площа = ½ × a × b = ½ × 5 × 8,66 ≈ 21,65
Периметр = a + b + c = 5 + 8,66 + 10 = 23,66
Оскільки два катети прямокутного трикутника вже стикаються під кутом 90°, вони одночасно є основою та висотою безпосередньо — окремого обчислення висоти не потрібно, на відміну від інших типів трикутників.
Поширені помилки, яких слід уникати
- Використання тангенса, коли бере участь гіпотенуза — tan пов’язує два катети один з одним, а не з гіпотенузою.
- Mixing up "opposite" and "adjacent" — these labels depend on which acute angle you're using, even though the hypotenuse itself never changes.
- Забули перевірити градус і радіан, перш ніж обчислювати sin, cos або tan вручну або за допомогою окремого калькулятора.
- Searching for a separate "height" for the area formula — in a right triangle, the two legs already serve as base and height.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор теореми Піфагора — знайдіть відсутню сторону, коли знаєте дві інші сторони безпосередньо.
- Калькулятор трикутників — працювати з трикутниками, які не є прямими.
- Калькулятор відстані — подивіться ту саму логіку прямокутного трикутника, застосовану до координатних точок.
- Науковий калькулятор — безпосередньо обчислювати синус, косинус і тангенс для будь-якого кута.