Швидка відповідь
Виберіть режим обчислення, який відповідає тому, що ви знаєте — три сторони (SSS), дві сторони та кут між ними (SAS), два кути та сторона між ними (ASA), два кути та невключена сторона (AAS) або дві сторони та невключений кут (SSA). Калькулятор застосовує закон косинусів або закон синусів, щоб розрахувати кожну сторону, кут, площу та периметр, що залишилися.
Ключові висновки
- Для повного розв’язання будь-якого трикутника потрібні рівно три відомі значення (у дійсній комбінації).
- Закон косинусів з'єднує три сторони і один кут; Закон синусів з'єднує сторони і кути пропорційно синусу протилежного кута.
- Сума трьох внутрішніх кутів завжди дорівнює рівно 180°, незалежно від форми чи розміру трикутника.
- Введення SSA — це єдиний випадок, який може бути неоднозначним — він може описувати нуль, один або два дійсні трикутники.
- Формула Герона знаходить площу безпосередньо з трьох сторін, без кута.
Вибір методу: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA
Кожен режим описує іншу комбінацію відомих сторін і кутів. Зіставте те, що маєте, з рядком нижче:
| Режим | Ви знаєте | Вирішено с |
|---|---|---|
| SSS | Всі три сторони | Закон косинусів (кути), формула Герона (площа) |
| SAS | Дві сторони + кут між ними | Закон косинусів (третя сторона), потім знову закон косинусів для кутів |
| ASA | Два кути + сторона між ними | Теорема суми трикутника (третій кут), закон синусів (сторони) |
| AAS | Два кути + сторона не між ними | Теорема суми трикутника (третій кут), закон синусів (сторони) |
| SSA | Дві сторони + невключений кут | Law of Sines — may have 0, 1, or 2 solutions |
Закон синусів і закон косинусів
Закон косинусів узагальнює теорему Піфагора на будь-який трикутник:
a² = b² + c² − 2bc·cos(A)
Закон синусів пов’язує кожну сторону з синусом її протилежного кута:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)
Робочий приклад (ASA): Кут A = 40°, сторона c = 10, Кут B = 60°
- Кут C = 180° − 40° − 60° = 80°
- Сторона a = c × sin(A) / sin(C) = 10 × sin(40°) / sin(80°) ≈ 6,53
- Сторона b = c × sin(B) / sin(C) = 10 × sin(60°) / sin(80°) ≈ 8,79
- Площа = 0,5 × a × b × sin(C) ≈ 0,5 × 6,53 × 8,79 × sin (80°) ≈ 28,27
Неоднозначна справа SSA
Якщо вам відомі дві сторони та невключений кут, висота h = b × sin(A) визначає, скільки трикутників відповідає цим вимірюванням. Приклад: сторона b = 10, кут A = 30° (тому h = 10 × sin(30°) = 5):
| Сторона а | Порівняння з h = 5 | Результат |
|---|---|---|
| 4 | a < h | Трикутника не існує |
| 5 | a = h | Рівно один трикутник (прямокутний трикутник) |
| 7 | h < a < b | Два можливі трикутники (неоднозначні) |
| 12 | a ≥ b | Рівно один трикутник |
Цей калькулятор повертає дійсний набір рішень для ваших введених даних; коли два трикутники математично можливі, він повідомляє розв’язок гострого кута.
Поширені помилки
- Введення трьох сторін, які порушують нерівність трикутника — дві коротші сторони повинні складатися більше, ніж найдовша сторона, інакше трикутник не може утворитися.
- Змішування SAS і ASA — SAS потрібен кут між двома заданими сторонами, тоді як ASA потрібна сторона між двома заданими кутами.
- Забуваючи, що SSA може бути неоднозначним, і припускаючи, що існує лише один можливий трикутник.
- Робота в неправильних одиницях вимірювання кута — цей калькулятор розраховує градуси, а не радіани.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор прямокутного трикутника — для трикутників з відомим кутом 90°
- Калькулятор теореми Піфагора — для знаходження відсутньої сторони прямокутного трикутника
- Калькулятор площі — для площі трикутників та інших фігур
- Калькулятор відстані — для відстані між двома координатними точками