Коротка відповідь
Стандартне відхилення вимірює, наскільки розповсюджені дані відповідають середньому значенню в тих самих одиницях, що й вихідні дані. Обчисліть його, знайшовши квадрат відхилення кожного значення від середнього, усереднивши ці квадрати відхилень (дисперсію), а потім витягнувши квадратний корінь. Тісний кластер значень дає невелике SD; широко розкидані значення дають велике SD.
Ключові висновки
- Вибіркова SD ділиться на (n−1), а не на n — поправку Бесселя — щоб уникнути систематичної недооцінки справжнього поширення населення.
- Стандартне відхилення використовує ті самі одиниці, що й вихідні дані; дисперсія в квадратних одиницях, тому зазвичай повідомляється SD, а не дисперсія.
- Емпіричне правило (68-95-99.7) застосовується лише до приблизно дзвоноподібних (нормальних) даних — воно не діє для перекошених або мультимодальних розподілів.
- Зведення у квадрат відхилень перед усередненням (а не просто усереднення абсолютних відхилень) більш серйозно карає більші відхилення, тому дисперсія та SD стали стандартною мірою розкиду.
Формула стандартного відхилення крок за кроком
| Крок | Дія |
|---|---|
| 1 | Знайдіть середнє значення набору даних |
| 2 | Відніміть середнє значення від кожного значення (відхилення) |
| 3 | Зведіть у квадрат кожне відхилення |
| 4 | Усередніть квадрати відхилень (поділіть на n або n−1) — це дисперсія |
| 5 | Візьміть квадратний корінь із дисперсії — це стандартне відхилення |
Вибірка проти сукупності: поправка n−1
Для набору даних {2, 4, 6, 8} середнє значення = 5, а квадрати відхилень дорівнюють 9, 1, 1, 9 (сума = 20):
Дисперсія сукупності = 20 ÷ 4 = 5 → стандартна сукупність = √5 ≈ 2,236
Дисперсія вибірки = 20 ÷ 3 ≈ 6,667 → вибірка SD = √6,667 ≈ 2,582
Версія вибірки завжди дорівнює або перевищує версію сукупності для тих самих даних — ділення на менше число (n−1 замість n) дещо завищує оцінку, коригуючи той факт, що вибірка має тенденцію недооцінювати справжній розподіл повної сукупності.
Емпіричне правило для нормальних даних
| Діапазон | % даних (нормальний розподіл) |
|---|---|
| Середнє ± 1 SD | 68% |
| Середнє ± 2 SD | 95% |
| Середнє ± 3 SD | 99.7% |
Це правило є швидкою перевіркою обґрунтованості дзвоноподібних даних, а не універсальним законом — воно порушується для спотворених, мультимодальних або важких розподілів.
Поширені помилки, яких слід уникати
- Забувши про останній крок квадратного кореня — дисперсію та стандартне відхилення часто плутають, але вони не взаємозамінні, оскільки вони в різних одиницях.
- Використання формули сукупності (÷n) під час спроби оцінити поширення сукупності за вибіркою — це занижує справжню мінливість.
- Застосовуючи емпіричне правило до даних, які не мають приблизно дзвоноподібної форми, спотворені дані не відповідатимуть шаблону 68-95-99.7.
- Обчислення відхилень від медіани замість середнього — стандартне відхилення конкретно визначається навколо середнього значення.
Пов'язані калькулятори
- Калькулятор середнього — обчисліть середнє значення, яке вимірює цей калькулятор.
- Калькулятор середнього значення, медіани, режиму та діапазону — отримати більш повну статистичну картину разом із SD.
- Калькулятор довірчого інтервалу — використовуйте SD для побудови оцінки діапазону для середнього значення сукупності.
- Калькулятор Z-Score — подивіться, скільки стандартних відхилень має значення від середнього.