Câu trả lời ngắn gọn
A confidence interval is a range built around a sample statistic that's likely to contain the true population value: interval = point estimate ± (critical value × standard error). A 95% confidence interval means that if you repeated the sampling process many times, about 95% of the intervals you'd build would contain the true population parameter — not that there's a 95% chance the true value sits inside this one specific interval.
Bài học chính
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Sử dụng phân phối z khi biết độ lệch chuẩn của tổng thể hoặc mẫu lớn (n ≥ 30); sử dụng phân phối t khi σ được ước tính từ một mẫu nhỏ.
- Việc tăng gấp bốn lần cỡ mẫu chỉ làm giảm một nửa biên độ sai số, vì sai số chuẩn giảm theo căn bậc hai của n chứ không phải theo chính n.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
Công thức khoảng tin cậy
Giá trị trung bình (σ đã biết): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Tỷ lệ: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Mức độ tin cậy | z giá trị tới hạn |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z so với t: giá trị tới hạn nào sẽ được sử dụng
| Tình trạng | Sử dụng | Tại sao |
|---|---|---|
| σ đã biết, cỡ mẫu bất kỳ | z | Phân phối chuẩn chuẩn áp dụng chính xác |
| σ chưa biết, n ≥ 30 | z (khoảng) | Các mẫu lớn làm cho t gần giống với z |
| p chưa biết, n < 30 | t | Đuôi béo hơn làm tăng thêm sự không chắc chắn trong việc ước tính σ |
Ví dụ hoạt động: khoảng 95% cho giá trị trung bình mẫu
Trung bình mẫu x̄ = 50,5, cỡ mẫu n = 100, độ lệch chuẩn σ = 10,5, độ tin cậy = 95%.
Sai số chuẩn = σ / √n = 10,5 / √100 = 1,05
Biên độ sai số = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06
KTC 95% = 50,5 ± 2,06 = [48,44, 52,56]
We'd say we are 95% confident the true population mean falls between 48.44 and 52.56 — meaning this method captures the true mean in about 95% of samples drawn the same way, not that this specific interval has a 95% chance of being right.
Những lỗi thường gặp cần tránh
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Sử dụng z khi mẫu nhỏ và σ chưa xác định - các đuôi béo hơn của phân phối t tồn tại đặc biệt để giải thích cho sự không chắc chắn bổ sung đó.
- Giả sử việc tăng gấp đôi kích thước mẫu sẽ giảm một nửa biên độ sai số - thực tế phải tăng gấp bốn lần n để giảm một nửa biên độ, vì sai số chuẩn giảm đi theo √n.
- Việc quên khoảng tin cậy theo tỷ lệ cần p̂ trong khoảng từ 0 đến 1 và có thể hoạt động kém ở gần 0 hoặc 1 với các mẫu nhỏ.
Máy tính liên quan
- Máy tính độ lệch chuẩn — tính toán σ từ dữ liệu thô trước khi xây dựng một khoảng xung quanh nó.
- Máy tính cỡ mẫu — làm việc ngược lại từ mức sai số mục tiêu đến cỡ mẫu bạn cần.
- Máy tính điểm Z — kiểm tra xem một điểm dữ liệu riêng lẻ nằm ở đâu so với phân phối này.
- Máy tính giá trị P — kiểm tra một giả thuyết cụ thể hơn là ước tính một phạm vi.