الجواب القصير
تضيف التسلسلات الحسابية مقدارًا ثابتًا في كل خطوة (2، 5، 8، 11... تضيف 3 في كل مرة)؛ المتتابعات الهندسية تتضاعف بنسبة ثابتة (3، 6، 12، 24... تتضاعف في كل مرة). بمجرد معرفة نوع التسلسل وقيمة البداية الخاصة به، تمنحك الصيغة أي مصطلح — رقم 100 أو رقم 1000 — دون إدراج كل شيء بينهما.
الوجبات السريعة الرئيسية
- المتتابعات الحسابية لها فرق ثابت بين الحدود المتتالية؛ المتتابعات الهندسية لها نسبة ثابتة.
- تتيح لك صيغ الحد n الانتقال مباشرة إلى أي موضع — aₙ = a₁ + (n−1)d للحساب، aₙ = a₁ × r^(n−1) للحساب الهندسي — دون إنشاء كل حد أولاً.
- ليست كل تسلسلات حسابية أو هندسية - تسلسلات نمط فيبوناتشي تبني كل حد من الحدود السابقة بدلاً من فرق أو نسبة ثابتة.
- توجد صيغة مجموع لكلا النوعين من التسلسل، بحيث يمكنك تجميع الحدود n الأولى دون إضافتها واحدًا تلو الآخر.
التعرف على نوع النمط
| نمط | امتحان | مثال |
|---|---|---|
| حسابي | الاختلافات المتتالية ثابتة | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| هندسي | النسب المتتالية ثابتة | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| على غرار فيبوناتشي | كل حد = مجموع الحدود السابقة | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
صيغ الحد النوني والمجموع
| يكتب | الفصل الدراسي التاسع | مجموع مصطلحات n الأولى |
|---|---|---|
| حسابي | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| هندسي | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
مثال عملي: مجموع المتتابعة الحسابية
أوجد مجموع الحدود العشرة الأولى من 2، 5، 8، 11... (a₁ = 2، d = 3).
أ₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
تحتاج صيغة الجمع فقط إلى الحد الأول والحد الأخير والعدد، ولا حاجة إلى إضافة جميع الأرقام العشرة يدويًا للتحقق من الإجمالي.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- بافتراض أن النمط حسابي بعد التحقق من زوج واحد فقط من الحدود - تأكد من تطابقات الفروق المتتالية قبل الختام.
- استخدام صيغة المجموع الحسابي على تسلسل هندسي، أو العكس - فالصيغتان غير قابلتين للتبديل.
- إن نسيان صيغة المجموع الهندسي ينهار عندما يكون r = 1 — كل حد متطابق، وبالتالي فإن المجموع هو ببساطة n × a₁، وليس القسمة على صفر.
- التعامل مع تسلسل عودي مثل فيبوناتشي كما لو كان يحتوي على صيغة بسيطة ذات شكل مغلق للحد النوني - فهو ليس كذلك، بدون هويات أكثر تقدمًا.
الآلات الحاسبة ذات الصلة
- حاسبة المتوسط — قارن متوسط شروط التسلسل الخاص بك بمجموعه المستند إلى الصيغة.
- حاسبة الأس — تحقق من القوى الكامنة وراء نمو التسلسل الهندسي.
- حاسبة النسبة — التحقق من النسبة المشتركة التي تقود التسلسل الهندسي.
- حاسبة الإحصائيات — تحليل تسلسل تم إنشاؤه كمجموعة بيانات كاملة.