Краткият отговор
Пермутациите отчитат подредбите, където редът има значение (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); комбинациите отчитат селекции, където редът не е (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!)). Изборът на подиум за състезание с 3 места от 10 състезатели е пермутация — P(10,3) = 720 различни подреждания. Избирането на комисия от 3 души от същите 10 души е комбинация — C(10,3) = 120, тъй като членството в комисията не се интересува от реда.
Key takeaways
- Combinations are always smaller than (or equal to) the matching permutation, since C(n,r) = P(n,r) ÷ r! — dividing out all the ways to reorder the same group.
- C(n,r) = C(n, n−r) — choosing which r items to include is equivalent to choosing which n−r items to leave out.
- Когато r = n, и двете се свеждат до преброяване на всички n елемента: P(n,n) = n! и C(n,n) = 1.
- Factorials grow extremely fast, so P(n,r) and C(n,r) can become astronomically large even for modest values of n and r.
Формули за пермутация и комбинация
| Концепция | Формула | Поръчката има ли значение? |
|---|---|---|
| Permutation | P(n,r) = n! / (n−r)! | да |
| Combination | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | не |
Работен пример: ред на състезание срещу избор на комисия
С 10 участници (n = 10), избирайки 3 (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (gold/silver/bronze orderings)
C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (комисии от 3 души)
Всяка група от 3 бегача отговаря на 3! = 6 различни подиуми (който получи злато, сребро, бронз), поради което броят на пермутациите (720) е 6 пъти по-голям от броя на комбинациите (120).
Правилото за симетрия за комбинации
C(8,2) = C(8,6) = 28
Избирането на 2 души от 8 за включване в група води до абсолютно същия брой като избирането на 6 души за изключване – това са два начина за описване на едно и също разделение. Тази симетрия, C(n,r) = C(n, n−r), може да спести усилия за изчисление: ако r е повече от половината от n, обикновено е по-бързо да се изчисли C(n, n−r).
Често срещани грешки, които трябва да избягвате
- Използването на формулата за пермутация, когато редът наистина няма значение — това увеличава истинския брой с фактор r!.
- Забравяйки, че r не може да надвишава n — няма начин да подредите или изберете повече елементи, отколкото съществуват в групата.
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- Загуба на следа от r при проблеми с многоетапен избор — забравяне на намаляване на оставащия пул след всеки вече избран етап.
Свързани калкулатори
- Калкулатор на вероятностите — turn a permutation or combination count into an actual probability.
- Калкулатор с големи числа — се справят с огромните факториели, които големите n и r стойности могат да произведат.
- Калкулатор за научна нотация — изразява компактно много големи резултати от пермутация или комбинация.
- Статистически калкулатор — приложете резултатите от преброяването към по-широк статистически анализ.