Краткият отговор
Доверителният интервал е диапазон, изграден около примерна статистика, която е вероятно да съдържа истинската стойност на популацията: интервал = точкова оценка ± (критична стойност × стандартна грешка). 95% доверителен интервал означава, че ако повторите процеса на вземане на проби много пъти, около 95% от интервалите, които бихте изградили, ще съдържат истинския параметър на популацията — не че има 95% шанс истинската стойност да се намира в този конкретен интервал.
Key takeaways
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Използвайте z-разпределението, когато стандартното отклонение на популацията е известно или извадката е голяма (n ≥ 30); използвайте t-разпределението, когато σ се оценява от малка извадка.
- Quadrupling the sample size only halves the margin of error, since standard error shrinks with the square root of n, not with n itself.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
Формулата на доверителния интервал
Средно (σ известно): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Пропорция: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Ниво на доверие | z критична стойност |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z срещу t: коя критична стойност да се използва
| Състояние | Използвайте | Why |
|---|---|---|
| σ известен, произволен размер на извадката | z | Стандартното нормално разпределение се прилага точно |
| σ неизвестно, n ≥ 30 | z (прибл.) | Големите проби правят t почти идентично с z |
| p неизвестно, n < 30 | t | По-дебелите опашки отчитат допълнителната несигурност при оценяването на σ |
Работен пример: 95% интервал за средна стойност на извадката
Средна стойност на извадката x̄ = 50,5, размер на извадката n = 100, стандартно отклонение σ = 10,5, ниво на достоверност = 95%.
Стандартна грешка = σ / √n = 10,5 / √100 = 1,05
Допустима грешка = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06
95% CI = 50,5 ± 2,06 = [48,44, 52,56]
Бихме казали, че сме 95% уверени, че истинската средна стойност на съвкупността пада между 48,44 и 52,56 — което означава, че този метод улавя истинската средна стойност в около 95% от пробите, съставени по същия начин, а не че този конкретен интервал има 95% шанс да бъде прав.
Често срещани грешки, които трябва да избягвате
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Използване на z, когато извадката е малка и σ е неизвестно — по-дебелите опашки на t-разпределението съществуват специално, за да отчитат тази допълнителна несигурност.
- Ако приемем, че удвояването на размера на извадката намалява наполовина границата на грешка — всъщност е необходимо учетворяване на n, за да се намали наполовина границата, тъй като стандартната грешка се свива с √n.
- Забравянето на пропорционалните доверителни интервали се нуждае от p̂ между 0 и 1 и може да се държи лошо близо до 0 или 1 с малки проби.
Свързани калкулатори
- Калкулатор за стандартно отклонение — изчислете σ от необработени данни, преди да изградите интервал около тях.
- Калкулатор за размер на извадката — работете назад от целевата граница на грешка до размера на извадката, от който се нуждаете.
- Калкулатор Z-резултат — проверете къде попада отделна точка от данни спрямо това разпределение.
- P-стойност калкулатор — тествайте конкретна хипотеза, вместо да оценявате диапазон.