La resposta curta
La fórmula quadràtica resol qualsevol equació de la forma ax² + bx + c = 0: x = (−b ± √(b²−4ac)) ÷ (2a). El ± significa que hi ha dues solucions, trobades sumant i després restant el terme d'arrel quadrada. El discriminant, b²−4ac, previsualitza quin tipus de solucions cal esperar fins i tot abans d'acabar el càlcul.
Key takeaways
- El discriminant (b²−4ac) previsualitza el tipus de resposta: positiu significa dues arrels reals, zero significa una arrel real repetida, negatiu significa dues arrels complexes.
- The vertex, at x = −b/(2a), is the parabola's minimum point if a > 0 or its maximum point if a < 0.
- La factorització és més ràpida que la fórmula quan un quadràtic factoritza clarament sobre nombres enters, però la fórmula sempre funciona, fins i tot quan la factorització no ho fa.
- A negative discriminant doesn't mean "no solution" — it means no real solution; the two complex solutions still exist and follow the same formula.
La fórmula quadràtica i el discriminant
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
| Discriminant | Tipus de solució | Example |
|---|---|---|
| b²−4ac > 0 | Dues solucions reals | x²−5x+6=0 |
| b²−4ac = 0 | One repeated real solution | x²−4x+4=0 |
| b²−4ac < 0 | Dues solucions complexes | x²+x+1=0 |
Exemple treballat: resolució de x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
Discriminant = (−5)² − 4(1)(6) = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2 → x = 3 o x = 2
Això coincideix amb factoritzar directament la mateixa equació: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), que és zero exactament quan x = 2 o x = 3 —la fórmula quadràtica i la factorització coincideixen, com sempre ho faran.
Vèrtex i eix de simetria
x = −b/(2a) = −(−5)/(2×1) = 2,5
y = (2,5)² − 5(2,5) + 6 = 6,25 − 12,5 + 6 = −0,25
Vèrtex = (2,5, −0,25)
Com que a = 1 és positiu, aquesta paràbola s'obre cap amunt, de manera que el vèrtex (2,5, −0,25) és el punt més baix de la corba, i es troba exactament a mig camí entre les dues arrels, 2 i 3, en l'eix de simetria x = 2,5.
Common mistakes to avoid
- Oblidant el ± i informant només d'una arrel, cada quadratic amb un discriminant positiu té dues solucions diferents.
- Errors de signe quan b és negatiu — un b negatiu fa que −b sigui positiu, una font freqüent d'errors aritmètics.
- Treating a negative discriminant as "no solution" instead of "no real solution" — the two complex solutions still exist mathematically.
- Aturant-se a x = -b/(2a) per al vèrtex i oblidant-lo de tornar a connectar-lo a l'equació original per obtenir també la coordenada y.
Related calculators
- Calculadora d'arrel — comproveu el pas d'arrel quadrada dins de la fórmula.
- Calculadora d'exponents — verificar els termes al quadrat del discriminant.
- Calculadora matricial — resoldre sistemes d'equacions més enllà d'un sol quadrat.
- Calculadora científica — manejar càlculs algebraics i trigonomètrics generals.