संक्षिप्त उत्तर
मानक कैलकुलेटर और स्प्रेडशीट संख्याओं को 64-बिट फ़्लोटिंग-पॉइंट मानों के रूप में संग्रहीत करते हैं, जो चुपचाप गोल करने से पहले केवल 15-17 महत्वपूर्ण अंक रखते हैं। यह उपकरण मनमाना-सटीक दशमलव अंकगणित का उपयोग करता है - 100 महत्वपूर्ण अंक - इसलिए बड़े पूर्णांक एक सन्निकटन में पूर्णांकित होने के बजाय सटीक, अंक दर अंक वापस आते हैं।
चाबी छीनना
- 64-बिट फ़्लोटिंग पॉइंट (डिफ़ॉल्ट रूप से अधिकांश कैलकुलेटर, स्प्रेडशीट और प्रोग्रामिंग भाषाओं द्वारा उपयोग किया जाता है) राउंडिंग शुरू होने से पहले लगभग 15-17 महत्वपूर्ण अंकों में सबसे ऊपर होता है।
- यह कैलकुलेटर सटीकता के 100 महत्वपूर्ण अंक रखता है - क्रिप्टोग्राफी-स्केल पूर्णांक, बड़े फैक्टोरियल और खगोलीय आंकड़ों के लिए पर्याप्त है।
- पावर संचालन के लिए 1000 से कम पूर्ण मान वाले पूर्णांक घातांक की आवश्यकता होती है, जो परिणाम को सटीक और गणना के समय को उचित रखता है।
- जीसीडी और एलसीएम केवल पूर्ण संख्याओं के लिए समझ में आते हैं - उन दो परिचालनों के दशमलव इनपुट को चुपचाप गोल करने के बजाय खारिज कर दिया जाता है।
नियमित कैलकुलेटर बड़ी संख्याओं पर क्यों ख़राब हो जाते हैं?
| प्रतिनिधित्व | महत्वपूर्ण अंक | चारों ओर चक्कर लगाने लगता है |
|---|---|---|
| 32-बिट फ्लोट | ~7 अंक | ~10 दस लाख |
| 64-बिट डबल (अधिकांश कैलकुलेटर और स्प्रेडशीट) | ~15–17 अंक | ~10¹⁶ |
| यह कैलकुलेटर (मनमाना-सटीक दशमलव) | 100 अंक | ~10¹⁰⁰ |
एक बार जब कोई संख्या अपने प्रारूप से अधिक हो जाती है, तो मान को उस निकटतम संख्या में पूर्णांकित कर दिया जाता है जिसे प्रारूप संग्रहीत कर सकता है - और वह पूर्णांकन चुपचाप होता है, अधिकांश उपकरणों में कोई चेतावनी नहीं होती है। दो अलग-अलग बड़ी संख्याएँ भी समान रूप से प्रदर्शित हो सकती हैं, जब दोनों को एक ही फ़्लोटिंग-पॉइंट मान पर पूर्णांकित किया जाता है।
कार्य उदाहरण: 25 फैक्टोरियल
25! = 15,511,210,043,330,985,984,000,000
एक मानक डबल-प्रिसिजन कैलकुलेटर इसे लगभग 1.5511210043330986 × 10²⁵ तक पूर्णांकित करता है - यह 26 अंकों में से लगभग 17 अंकों को ही पकड़ सकता है, इसलिए उस बिंदु से आगे की हर चीज एक अनुमान है। क्योंकि यह कैलकुलेटर फ़्लोटिंग पॉइंट के बजाय सटीक दशमलव अंकगणित का उपयोग करता है, फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन उन 26 अंकों में से प्रत्येक को सटीक रूप से लौटाता है, बिना कुछ भी गोल किए।
बचने योग्य सामान्य गलतियाँ
- एक बड़ी संख्या को एक नियमित स्प्रैडशीट सेल में चिपकाना और प्रत्येक प्रदर्शित अंक पर भरोसा करना - स्प्रैडशीट्स समान 64-बिट फ़्लोट का उपयोग करती हैं और चुपचाप ~ 15-17 अंकों से आगे निकल जाती हैं।
- जीसीडी या एलसीएम के लिए दशमलव मान दर्ज करना - दोनों ऑपरेशन केवल पूर्ण संख्याओं के लिए परिभाषित हैं और गैर-पूर्णांक इनपुट पर एक त्रुटि लौटाएंगे।
- भिन्नात्मक या अत्यधिक बड़े घातांक को स्वीकार करने की शक्ति से अपेक्षा - परिणामों को सटीक रखने के लिए घातांक 1000 से कम की पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए।
- यह मानते हुए कि परिणाम के साथ दिखाए गए वैज्ञानिक-नोटेशन सारांश की गणना की गई है - यह एक गोलाकार प्रदर्शन सुविधा है; पूर्ण-सटीक मान वह है जो कैलकुलेटर ने वास्तव में गणना की है।
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