The short answer
Algoritme Euclidean menemukan FPB dari dua bilangan dengan pembagian berulang: bagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan yang lebih kecil, ganti bilangan yang lebih besar dengan sisanya, dan ulangi hingga sisanya mencapai 0 — sisa bukan nol yang terakhir adalah GCF. Untuk 48 dan 18: 48 18 menyisakan 12, 18 12 menyisakan 6, 12 6 menyisakan 0, sehingga FPB-nya adalah 6. Jawabannya diperoleh dalam beberapa langkah, bahkan untuk bilangan yang sangat besar, tanpa pernah mencantumkan setiap faktor.
Poin-poin penting
- Algoritme Euclidean menemukan GCF dalam sejumlah kecil langkah, tidak peduli seberapa besar jumlahnya — tidak perlu mencantumkan setiap faktor terlebih dahulu.
- Untuk dua angka apa pun, FPB × KPK sama dengan hasil kali kedua angka tersebut — cara cepat untuk memeriksa kewarasan satu hasil setelah Anda mendapatkan hasil lainnya.
- Baik GCF maupun KPK diperluas ke tiga bilangan atau lebih dengan menggabungkan dua bilangan sekaligus, bukan dengan menerapkan rumus ke semuanya sekaligus.
- GCF dan HCF (faktor persekutuan tertinggi) menyebutkan nilai yang sama — perbedaannya terletak pada terminologi regional, bukan matematika.
Algoritma Euclidean langkah demi langkah
| Step | Divisi | Sisa |
|---|---|---|
| 1 | 48 ÷ 18 = 2 | 12 |
| 2 | 18 ÷ 12 = 1 | 6 |
| 3 | 12 ÷ 6 = 2 | 0 (berhenti) |
Sisa bukan nol terakhir — 6 — adalah GCF. Setiap langkah menggantikan pasangan angka dengan pasangan lebih kecil yang memiliki GCF yang sama, sehingga algoritme selalu menyatu dengan cepat, biasanya dalam langkah yang jauh lebih sedikit dibandingkan ukuran angka mana pun.
Hubungan GCF-LCM
KPK(a, b) × KPK(a, b) = a × b
Setelah Anda mengetahui FPB dari dua bilangan, Anda dapat mencari KPKnya tanpa perlu menghitung secara terpisah: KPK = (a × b) ÷ FPB. Pintasan ini hanya berlaku untuk dua angka saja — untuk tiga angka atau lebih, FPB dan KPK masing-masing perlu dibentuk dengan menggabungkan dua angka sekaligus.
Contoh yang dikerjakan: KPK dan KPK 48 dan 18
GCF(48, 18) = 6 (dari algoritma Euclidean di atas)
KPK(48, 18) = (48 × 18) 6 = 864 6 = 144
Kedua jawaban tersebut dapat diperiksa ulang dengan faktorisasi prima: 48 = 2⁴ × 3 dan 18 = 2 × 3². GCF mengambil pangkat terendah dari setiap bilangan prima bersama (2¹ × 3¹ = 6), sedangkan KPK mengambil pangkat tertinggi dari setiap bilangan prima yang terlibat (2⁴ × 3² = 144) — sama persis dengan hasil Euclidean dan berdasarkan rumus.
Kesalahan umum yang harus dihindari
- Menerapkan algoritma Euclidean ke tiga bilangan atau lebih secara langsung — sebagai gantinya, cari FPB(a, b) terlebih dahulu, lalu cari FPB dari hasil tersebut dengan c, dan seterusnya.
- Dengan asumsi FPB × KPK = a × b berlaku untuk tiga bilangan atau lebih — identitas tersebut hanya dijamin untuk tepat dua bilangan.
- Menggabungkan soal mana yang benar-benar dibutuhkan - GCF untuk membagi menjadi kelompok yang sama, KPK untuk menemukan kapan rangkaian acara berulang.
- Stopping the Euclidean algorithm early because a remainder looks "small enough" — keep dividing until the remainder is exactly 0.
Kalkulator terkait
- Kalkulator Kelipatan Persekutuan Terkecil — dapatkan alat LCM khusus dengan metode langkah demi langkahnya sendiri.
- Kalkulator Faktor Persekutuan — lihat setiap faktor yang dimiliki bersama, bukan hanya faktor terbesar.
- Kalkulator Faktor — daftarkan setiap faktor dari suatu bilangan.
- Kalkulator Pecahan — gunakan GCF untuk menyederhanakan pecahan secara langsung.