The short answer
Permutasi menghitung susunan yang urutannya penting (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); kombinasi menghitung pilihan yang urutannya tidak (C(n,r) = n! qian (r!(n−r)!)). Pemilihan podium lomba 3 tempat dari 10 pelari merupakan permutasi — P(10,3) = 720 urutan berbeda. Memilih panitia yang beranggotakan 3 orang dari 10 orang yang sama merupakan kombinasi — C(10,3) = 120, karena keanggotaan panitia tidak memperdulikan ketertiban.
Poin-poin penting
- Combinations are always smaller than (or equal to) the matching permutation, since C(n,r) = P(n,r) ÷ r! — dividing out all the ways to reorder the same group.
- C(n,r) = C(n, n−r) — choosing which r items to include is equivalent to choosing which n−r items to leave out.
- Ketika r = n, keduanya dikurangi menjadi menghitung semua n item: P(n,n) = n! dan C(n,n) = 1.
- Faktorial tumbuh sangat cepat, sehingga P(n,r) dan C(n,r) bisa menjadi sangat besar bahkan untuk nilai n dan r yang sederhana.
Rumus permutasi dan kombinasi
| Konsep | Rumus | Ketertiban itu penting? |
|---|---|---|
| Permutasi | P(n,r) = n! / (n−r)! | Ya |
| Combination | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | TIDAK |
Worked example: race order vs. committee selection
With 10 runners (n = 10), choosing 3 (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (pemesanan emas/perak/perunggu)
C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (3-person committees)
Setiap kelompok yang terdiri dari 3 pelari sama dengan 3! = 6 urutan podium yang berbeda (siapa yang mendapat emas, perak, perunggu), itulah sebabnya hitungan permutasi (720) adalah 6 kali lipat hitungan kombinasi (120).
Aturan simetri untuk kombinasi
C(8,2) = C(8,6) = 28
Choosing 2 people out of 8 to include in a group produces the exact same count as choosing the 6 people to exclude — they're two ways of describing the same split. This symmetry, C(n,r) = C(n, n−r), can save calculation effort: if r is more than half of n, it's usually faster to compute C(n, n−r) instead.
Kesalahan umum yang harus dihindari
- Menggunakan rumus permutasi ketika urutan sebenarnya tidak penting — ini akan meningkatkan jumlah sebenarnya sebesar faktor r!.
- Forgetting that r cannot exceed n — there's no way to arrange or select more items than exist in the group.
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- Kehilangan jejak r dalam masalah pemilihan multi-tahap - lupa mengurangi kumpulan yang tersisa setelah setiap tahap dipilih.
Kalkulator terkait
- Kalkulator Probabilitas — mengubah hitungan permutasi atau kombinasi menjadi probabilitas aktual.
- Kalkulator Angka Besar — menangani faktorial besar yang dapat dihasilkan oleh nilai n dan r yang besar.
- Kalkulator Notasi Ilmiah — menyatakan hasil permutasi atau kombinasi yang sangat besar secara kompak.
- Kalkulator Statistik — apply counting results to broader statistical analysis.