Resposta ràpida
Una puntuació z us indica quantes desviacions estàndard hi ha un valor per sobre o per sota de la mitjana: z = (X − μ) / σ. Introduïu una puntuació bruta amb la mitjana i la desviació estàndard per obtenir la puntuació z, o treballeu cap enrere a partir d'una puntuació z coneguda per trobar la puntuació bruta, el percentil i la probabilitat sota la corba normal.
Key takeaways
- Una puntuació z de 0 significa que el valor és igual exactament a la mitjana; z positiu està per sobre de la mitjana, z negatiu està per sota.
- Les puntuacions Z estandarditzen qualsevol conjunt de dades distribuïts normalment a una escala comuna, cosa que us permet comparar valors mesurats en unitats completament diferents.
- La regla empírica estableix que aproximadament el 68% dels valors es troben dins de ±1 SD, el 95% dins de ±2 SD i el 99,7% dins de ±3 SD de la mitjana.
- El percentil i la puntuació z estan relacionats però diferents: una puntuació z d'1 correspon al percentil 84, no al primer.
La fórmula de la puntuació z, exemple treballat
z = (X − μ) / σ
Exemple: puntuació bruta X = 75, mitjana μ = 70, desviació estàndard σ = 10
- z = (75 − 70) / 10 = 5 / 10 = 0,5
- Una puntuació z de 0,5 significa que la puntuació se situa mitja desviació estàndard per sobre de la mitjana.
- Si busqueu z = 0,5 a la distribució normal estàndard, s'obté un percentil d'aproximadament el 69,1%: la puntuació supera aproximadament el 69% de la distribució.
Puntuació Z, percentils i regla empírica
Per a qualsevol distribució normal, la regla empírica (regla 68-95-99.7) descriu quantes dades cauen dins de cada banda de desviacions estàndard:
| Interval | % aproximat de les dades |
|---|---|
| μ ± 1σ (−1 ≤ z ≤ 1) | ~68% |
| μ ± 2σ (−2 ≤ z ≤ 2) | ~95% |
| μ ± 3σ (−3 ≤ z ≤ 3) | ~99.7% |
Comparació de puntuacions a diferents escales
Les puntuacions Z us permeten comparar el rendiment en proves amb escales de puntuació completament diferents. Suposem que l'estudiant A obté una puntuació de 1350 al SAT (mitjana 1050, SD 200) i l'estudiant B puntua 30 a l'ACT (mitjana 21, SD 5):
- Estudiant A: z = (1350 − 1050) / 200 = 1,5
- Estudiant B: z = (30 − 21) / 5 = 1,8
Tot i que les puntuacions brutes utilitzen escales no relacionades, la puntuació z més alta de l'estudiant B significa que van tenir un millor rendiment en relació amb la distribució de puntuacions de la seva pròpia prova.
Errors comuns
- Tractar una puntuació z com si fos un percentil directament: una puntuació z d'1 és aproximadament el percentil 84, no el primer.
- Barrejant la probabilitat de la cua esquerra, la cua dreta i les dues cues: cadascun respon a una pregunta diferent sobre on cau un valor.
- Aplicació de puntuacions z i la regla empírica a dades que no es distribueixen aproximadament de manera normal, on els percentatges ja no es mantenen.
- Eliminar el signe d'una puntuació z negativa, que canvia si un valor està per sobre o per sota de la mitjana.
Related calculators
- Calculadora de desviació estàndard — per calcular σ a partir d'un conjunt de dades en brut
- Calculadora d'intervals de confiança — per estimar un interval al voltant d'una estadística mostra
- Calculadora de valor P — per comprovar la significació d'hipòtesis a partir d'una estadística de prova
- Calculadora d'estadístiques — per obtenir un conjunt complet d'estadístiques descriptives sobre les vostres dades