La resposta curta
A confidence interval is a range built around a sample statistic that's likely to contain the true population value: interval = point estimate ± (critical value × standard error). A 95% confidence interval means that if you repeated the sampling process many times, about 95% of the intervals you'd build would contain the true population parameter — not that there's a 95% chance the true value sits inside this one specific interval.
Key takeaways
- A wider confidence level (99% vs. 90%) always produces a wider interval — you're trading precision for certainty, not getting a "more correct" answer.
- Utilitzeu la distribució z quan es coneix la desviació estàndard de la població o la mostra és gran (n ≥ 30); utilitzeu la distribució t quan s'estima a partir d'una mostra petita.
- Quaduplicar la mida de la mostra només redueix a la meitat el marge d'error, ja que l'error estàndard es redueix amb l'arrel quadrada de n, no amb n mateix.
- "95% confidence" describes the long-run reliability of the method across repeated sampling, not the probability that this specific interval contains the true value.
La fórmula de l'interval de confiança
Mitjana (σ coneguda): CI = x̄ ± z × (σ / √n)
Proporció: CI = p̂ ± z × √(p̂(1 − p̂) / n)
| Nivell de confiança | z valor crític |
|---|---|
| 90% | 1.645 |
| 95% | 1.96 |
| 99% | 2.576 |
z vs. t: quin valor crític utilitzar
| Condició | Ús | Per què |
|---|---|---|
| σ conegut, qualsevol mida de mostra | z | La distribució normal estàndard s'aplica exactament |
| σ desconegut, n ≥ 30 | z (aprox.) | Les mostres grans fan que t sigui gairebé idèntica a z |
| p desconegut, n < 30 | t | Les cues més grosses expliquen una incertesa addicional en l'estimació de σ |
Exemple treballat: interval del 95% per a una mitjana mostral
Mitjana mostral x̄ = 50,5, mida de la mostra n = 100, desviació estàndard σ = 10,5, nivell de confiança = 95%.
Error estàndard = σ / √n = 10,5 / √100 = 1,05
Marge d'error = 1,96 × 1,05 ≈ 2,06
IC del 95% = 50,5 ± 2,06 = [48,44; 52,56]
Diria que estem un 95% segurs que la veritable mitjana de la població es troba entre 48,44 i 52,56, és a dir, aquest mètode captura la veritable mitjana en aproximadament el 95% de les mostres extretes de la mateixa manera, no que aquest interval específic tingui un 95% de possibilitats de tenir raó.
Common mistakes to avoid
- Interpreting "95% confidence" as "95% probability the true value is in this interval" — it's a statement about the long-run method, not this one computed interval.
- Si s'utilitza z quan la mostra és petita i σ es desconeix, les cues més grosses de la distribució t existeixen específicament per tenir en compte aquesta incertesa addicional.
- Suposant que duplicar la mida de la mostra es redueix a la meitat el marge d'error; en realitat es necessita quadruplicar n per reduir a la meitat el marge, ja que l'error estàndard es redueix amb √n.
- Oblidar els intervals de confiança de proporció necessiten p̂ entre 0 i 1, i poden comportar-se malament prop de 0 o 1 amb mostres petites.
Related calculators
- Calculadora de desviació estàndard — calculeu σ a partir de dades en brut abans de construir un interval al seu voltant.
- Calculadora de mida de mostra — treballeu enrere des d'un marge d'error objectiu fins a la mida de mostra que necessiteu.
- Calculadora de puntuació Z — comproveu on cau un punt de dades individual en relació amb aquesta distribució.
- Calculadora de valor P — provar una hipòtesi específica en lloc d'estimar un interval.