La resposta curta
Arithmetic sequences add a constant amount each step (2, 5, 8, 11... adds 3 every time); geometric sequences multiply by a constant ratio (3, 6, 12, 24... doubles every time). Once you know which type a sequence is and its starting value, a formula gives you any term — the 100th, the 1000th — without listing everything in between.
Key takeaways
- Les seqüències aritmètiques tenen una diferència constant entre termes consecutius; les seqüències geomètriques tenen una relació constant.
- The nth-term formulas let you jump straight to any position — aₙ = a₁ + (n−1)d for arithmetic, aₙ = a₁ × r^(n−1) for geometric — without generating every term first.
- No totes les seqüències són aritmètiques o geomètriques: les seqüències a l'estil de Fibonacci construeixen cada terme a partir dels anteriors en lloc d'una diferència o proporció constant.
- Existeix una fórmula de suma per als dos tipus de seqüències, de manera que podeu sumar els primers n termes sense afegir-los un per un.
Reconeixement del tipus de patró
| Patró | Prova | Example |
|---|---|---|
| Aritmètica | Les diferències consecutives són constants | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| Geomètric | Les proporcions consecutives són constants | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| estil Fibonacci | Cada terme = suma de termes anteriors | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
Les fórmules d'enèsimo terme i de suma
| Tipus | nè terme | Suma dels n primers termes |
|---|---|---|
| Aritmètica | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| Geomètric | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
Exemple treballat: suma d'una successió aritmètica
Troba la suma dels 10 primers termes de 2, 5, 8, 11... (a₁ = 2, d = 3).
a₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
La fórmula de la suma només necessita el primer terme, l'últim terme i el recompte; no cal sumar els 10 nombres a mà per comprovar el total.
Common mistakes to avoid
- Suposant que un patró és aritmètic després de comprovar només un parell de termes; confirmeu totes les diferències consecutives que coincideixen abans de concloure.
- Utilitzant la fórmula de suma aritmètica en una seqüència geomètrica, o viceversa, les dues fórmules no són intercanviables.
- Oblidar la fórmula de la suma geomètrica es trenca quan r = 1: cada terme és idèntic, de manera que la suma és simplement n × a₁, no una divisió per zero.
- Tractar una seqüència recursiva com Fibonacci com si tingués una fórmula simple d'enèsimo terme de forma tancada; no ho fa, sense identitats més avançades.
Related calculators
- Calculadora mitjana — compareu la mitjana dels termes de la vostra seqüència amb la seva suma basada en la fórmula.
- Calculadora d'exponents — comprovar les potències darrere del creixement d'una seqüència geomètrica.
- Calculadora de ràtio — verificar la raó comuna que condueix una seqüència geomètrica.
- Calculadora d'estadístiques — analitzar una seqüència generada com un conjunt de dades complet.