Jawapan ringkas
Permutasi mengira susunan di mana pesanan penting (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); gabungan mengira pilihan apabila tertib tidak (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!)). Memilih podium perlumbaan 3 tempat daripada 10 pelari ialah pilih atur — P(10,3) = 720 susunan berbeza. Memilih jawatankuasa 3 orang daripada 10 orang yang sama ialah gabungan — C(10,3) = 120, kerana keahlian jawatankuasa tidak mementingkan ketertiban.
Pengambilan utama
- Gabungan sentiasa lebih kecil daripada (atau sama dengan) pilih atur padanan, kerana C(n,r) = P(n,r) ÷ r! — membahagikan semua cara untuk menyusun semula kumpulan yang sama.
- C(n,r) = C(n, n−r) — memilih item r mana yang hendak disertakan adalah bersamaan dengan memilih item n−r yang mana untuk ditinggalkan.
- Apabila r = n, kedua-duanya mengurangkan kepada mengira semua n item: P(n,n) = n! dan C(n,n) = 1.
- Faktorial berkembang sangat cepat, jadi P(n,r) dan C(n,r) boleh menjadi besar secara astronomi walaupun untuk nilai sederhana n dan r.
Formula pilih atur dan gabungan
| Konsep | Formula | Urusan pesanan? |
|---|---|---|
| Permutasi | P(n,r) = n! / (n−r)! | ya |
| Gabungan | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | Tidak |
Contoh kerja: perintah perlumbaan vs pemilihan jawatankuasa
Dengan 10 pelari (n = 10), memilih 3 (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (pesanan emas/perak/gangsa)
C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (jawatankuasa 3 orang)
Setiap kumpulan 3 pelari sepadan dengan 3! = 6 susunan podium berbeza (yang mendapat emas, perak, gangsa), itulah sebabnya kiraan pilih atur (720) ialah 6 kali kiraan gabungan (120).
Peraturan simetri untuk gabungan
C(8,2) = C(8,6) = 28
Memilih 2 orang daripada 8 untuk disertakan dalam kumpulan menghasilkan kiraan yang sama seperti memilih 6 orang untuk dikecualikan — mereka adalah dua cara untuk menerangkan perpecahan yang sama. Simetri ini, C(n,r) = C(n, n−r), boleh menjimatkan usaha pengiraan: jika r lebih separuh daripada n, ia biasanya lebih cepat untuk mengira C(n, n−r) sebaliknya.
Kesilapan biasa yang perlu dielakkan
- Menggunakan formula pilih atur apabila pesanan benar-benar tidak penting — ini meningkatkan kiraan sebenar dengan faktor r!.
- Terlupa bahawa r tidak boleh melebihi n — tiada cara untuk mengatur atau memilih lebih banyak item daripada yang wujud dalam kumpulan.
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- Kehilangan jejak r dalam masalah pemilihan berbilang peringkat — terlupa untuk mengurangkan kumpulan yang tinggal selepas setiap peringkat telah dipilih.
Kalkulator berkaitan
- Kalkulator Kebarangkalian — ubah kiraan pilih atur atau gabungan kepada kebarangkalian sebenar.
- Kalkulator Nombor Besar — mengendalikan faktorial besar yang boleh dihasilkan oleh nilai n dan r yang besar.
- Kalkulator Notasi Saintifik — nyatakan hasil pilih atur atau gabungan yang sangat besar secara padat.
- Kalkulator Statistik — gunakan keputusan pengiraan untuk analisis statistik yang lebih luas.