संक्षिप्त उत्तर
अंकगणित अनुक्रम प्रत्येक चरण में एक स्थिर राशि जोड़ते हैं (2, 5, 8, 11... हर बार 3 जोड़ते हैं); ज्यामितीय अनुक्रम एक स्थिर अनुपात से गुणा होते हैं (3, 6, 12, 24... हर बार दोगुना)। एक बार जब आप जान जाते हैं कि अनुक्रम किस प्रकार का है और उसका आरंभिक मान क्या है, तो एक सूत्र आपको बीच में सब कुछ सूचीबद्ध किए बिना कोई भी पद देता है - 100वां, 1000वां -।
चाबी छीनना
- अंकगणितीय अनुक्रमों में क्रमागत पदों के बीच निरंतर अंतर होता है; ज्यामितीय अनुक्रमों का एक स्थिर अनुपात होता है।
- nवें पद के सूत्र आपको सीधे किसी भी स्थिति में जाने देते हैं - अंकगणित के लिए aₙ = a₁ + (n−1)d, ज्यामितीय के लिए aₙ = a₁ × r^(n−1) - प्रत्येक पद को पहले उत्पन्न किए बिना।
- प्रत्येक अनुक्रम अंकगणितीय या ज्यामितीय नहीं है - फाइबोनैचि-शैली अनुक्रम निरंतर अंतर या अनुपात के बजाय पिछले वाले से प्रत्येक पद का निर्माण करते हैं।
- दोनों अनुक्रम प्रकारों के लिए एक योग सूत्र मौजूद है, इसलिए आप पहले n पदों को एक-एक करके जोड़े बिना उनका योग कर सकते हैं।
पैटर्न प्रकार को पहचानना
| नमूना | परीक्षा | उदाहरण |
|---|---|---|
| अंकगणित | लगातार मतभेद स्थिर हैं | 2, 5, 8, 11 (d=3) |
| ज्यामितिक | लगातार अनुपात स्थिर हैं | 3, 6, 12, 24 (r=2) |
| फाइबोनैचि-शैली | प्रत्येक पद = पिछले पदों का योग | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
nवाँ पद और योग सूत्र
| प्रकार | नौवाँ पद | प्रथम n पदों का योग |
|---|---|---|
| अंकगणित | aₙ = a₁ + (n−1)d | Sₙ = n/2 × (a₁+aₙ) |
| ज्यामितिक | aₙ = a₁ × r^(n−1) | Sₙ = a₁(rⁿ−1)/(r−1) |
कार्यान्वित उदाहरण: एक अंकगणितीय अनुक्रम का योग
2, 5, 8, 11... (a₁ = 2, d = 3) के पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
a₁₀ = 2 + (10−1) × 3 = 29
S₁₀ = 10/2 × (2 + 29) = 5 × 31 = 155
योग सूत्र के लिए केवल पहले पद, अंतिम पद और गिनती की आवश्यकता होती है - कुल की जांच करने के लिए सभी 10 संख्याओं को हाथ से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है।
बचने योग्य सामान्य गलतियाँ
- केवल एक जोड़ी पदों की जाँच करने के बाद मान लें कि एक पैटर्न अंकगणित है - निष्कर्ष निकालने से पहले प्रत्येक लगातार अंतर मिलान की पुष्टि करें।
- ज्यामितीय अनुक्रम पर अंकगणितीय योग सूत्र का उपयोग करना, या इसके विपरीत - दो सूत्र विनिमेय नहीं हैं।
- ज्यामितीय योग सूत्र को भूल जाना तब टूट जाता है जब r = 1 - प्रत्येक पद समान होता है, इसलिए योग केवल n × a₁ होता है, शून्य से विभाजन नहीं।
- फाइबोनैचि जैसे पुनरावर्ती अनुक्रम का इलाज करना जैसे कि इसमें एक सरल बंद-फॉर्म एनएच-टर्म फॉर्मूला था - यह अधिक उन्नत पहचान के बिना नहीं है।
संबंधित कैलकुलेटर
- औसत कैलकुलेटर — अपने अनुक्रम के पदों के माध्य की तुलना उसके सूत्र-आधारित योग से करें।
- घातांक कैलक्यूलेटर — एक ज्यामितीय अनुक्रम के विकास के पीछे की शक्तियों की जाँच करें।
- अनुपात कैलकुलेटर — एक ज्यामितीय अनुक्रम चलाकर सामान्य अनुपात को सत्यापित करें।
- सांख्यिकी कैलकुलेटर — पूर्ण डेटा सेट के रूप में उत्पन्न अनुक्रम का विश्लेषण करें।