La resposta curta
Les permutacions compten arranjaments on l'ordre importa (P(n,r) = n! ÷ (n−r)!); les combinacions compten les seleccions on l'ordre no ho fa (C(n,r) = n! ÷ (r!(n−r)!)). Escollir un podi de cursa de 3 llocs entre 10 corredors és una permutació: P(10,3) = 720 ordres diferents. Escollir un comitè de 3 persones entre les mateixes 10 persones és una combinació: C(10,3) = 120, ja que la pertinença al comitè no li importa l'ordre.
Key takeaways
- Les combinacions són sempre més petites que (o iguals a) la permutació coincident, ja que C(n,r) = P(n,r) ÷ r! — dividir totes les maneres de reordenar el mateix grup.
- C(n,r) = C(n, n−r) — choosing which r items to include is equivalent to choosing which n−r items to leave out.
- Quan r = n, tots dos es redueixen a comptar tots els n elements: P(n,n) = n! i C(n,n) = 1.
- Factorials grow extremely fast, so P(n,r) and C(n,r) can become astronomically large even for modest values of n and r.
The permutation and combination formulas
| Concepte | Fórmula | Afers d'ordre? |
|---|---|---|
| Permutació | P(n,r) = n! / (n−r)! | Sí |
| Combinació | C(n,r) = n! / (r!(n−r)!) | No |
Worked example: race order vs. committee selection
Amb 10 corredors (n = 10), escollint-ne 3 (r = 3):
P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720 (ordenacions d'or/plata/bronze)
C(10,3) = 720 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 (comitès de 3 persones)
Every group of 3 runners corresponds to 3! = 6 different podium orderings (who got gold, silver, bronze), which is exactly why the permutation count (720) is 6 times the combination count (120).
Regla de simetria per a combinacions
C(8,2) = C(8,6) = 28
Choosing 2 people out of 8 to include in a group produces the exact same count as choosing the 6 people to exclude — they're two ways of describing the same split. This symmetry, C(n,r) = C(n, n−r), can save calculation effort: if r is more than half of n, it's usually faster to compute C(n, n−r) instead.
Common mistakes to avoid
- Utilitzar la fórmula de permutació quan l'ordre realment no importa; això augmenta el recompte real per un factor de r!.
- Oblidant que r no pot superar n, no hi ha manera d'organitzar o seleccionar més elements dels que hi ha al grup.
- Confusing the standard (no-repetition) formulas with "with repetition" versions, which apply to different problems, like a 4-digit PIN where digits can repeat.
- Perdre el seguiment de r en problemes de selecció de diverses etapes: oblidar de reduir el grup restant després de cada etapa ja escollida.
Related calculators
- Probability Calculator — convertir un recompte de permutació o combinació en una probabilitat real.
- Big Number Calculator — manejar els enormes factorials que poden produir grans valors de n i r.
- Calculadora de notació científica — expressen resultats de permutació o combinació molt grans de manera compacta.
- Calculadora d'estadístiques — aplicar els resultats del recompte a una anàlisi estadística més àmplia.