La resposta curta
La superfície és l'àrea total que cobreix l'exterior d'una forma 3D, en unitats quadrades: la quantitat de material necessària per embolicar o pintar cada cara. Les fórmules varien segons la forma: un cub té 6a² (sis cares quadrades iguals), una esfera és 4πr² i un cilindre és 2πr² + 2πrh (dos extrems circulars més el costat corbat). Cada fórmula és realment només la suma de les àrees de cada cara o superfície corbada que formen la forma.
Key takeaways
- L'àrea de superfície s'escala amb el quadrat de la mida d'un objecte, mentre que el volum s'escala amb el cub: els objectes més petits tenen proporcionalment més superfície que els més grans de la mateixa forma.
- La majoria de les fórmules d'àrea de superfície 3D són literalment una suma de fórmules d'àrea 2D: la fórmula d'un cilindre combina dos cercles (πr² cadascun) amb un rectangle envoltat al costat (2πr × h).
- La superfície i el volum responen a diferents preguntes: la superfície cobreix l'exterior (unitats quadrades), el volum omple l'interior (unitats cúbiques).
- Cones and pyramids need slant height, not vertical height, for their lateral (side) surface area — the two are only equal for a completely flat shape.
Fórmules de superfície per forma
| Forma | Fórmula |
|---|---|
| Cub | SA = 6a² |
| Esfera | SA = 4πr² |
| Cylinder | SA = 2πr² + 2πrh |
| Con | SA = πr² + πrl |
| Prisma rectangular | SA = 2(lw + lh + wh) |
Per què els objectes més petits tenen més superfície per volum
| costat del cub | Surface area | Volum | SA: Relació de volum |
|---|---|---|---|
| 4 cm | 96 cm² | 64 cm³ | 1.5 |
| 2 cm | 24 cm² | 8 cm³ | 3.0 |
Reduir la meitat del costat del cub duplica la seva relació superfície-volum: aquest mateix principi explica per què el gel picat es fon més ràpidament que un cub de gel sencer d'igual massa i per què els organismes petits perden calor més ràpidament en relació amb la seva mida que els grans.
Worked example: surface area of a cylinder
A cylinder with radius 2 and height 5:
Two circular ends: 2πr² = 2π(2²) = 8π
Costat corbat: 2πrh = 2π(2)(5) = 20π
Total: 8π + 20π = 28π ≈ 87,96
The curved side comes from "unrolling" the cylinder into a flat rectangle — its width equals the circle's circumference (2πr) and its height equals the cylinder's height, which is exactly why that term is 2πrh rather than something involving the radius squared.
Common mistakes to avoid
- Confonent la superfície (unitats quadrades, l'exterior) amb el volum (unitats cúbiques, l'interior): responen preguntes completament diferents.
- Utilitzant l'alçada vertical en lloc de l'alçada inclinada per a la superfície lateral d'un con o de la piràmide: els dos només són iguals per a una forma plana sense cap alçada.
- Forgetting a cylinder has two circular ends, not one, when adding up the "cap" contribution.
- Assuming a bigger shape always has proportionally more surface area — smaller objects actually carry more surface area relative to their own volume.
Related calculators
- Area Calculator — calcular les cares 2D que formen la superfície d'una forma 3D.
- Calculadora de volum — find the space enclosed inside the same shape.
- Circle Calculator — comproveu les cares circulars darrere de les fórmules de cilindres i cons.
- Calculadora de triangle — calcula les cares triangulars d'un prisma o piràmide.