La resposta curta
The right distance formula depends on how you're allowed to travel between two points. Straight-line ("as the crow flies") distance uses the Euclidean formula, d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. Grid-based movement, like city blocks, uses Manhattan distance instead: d = |x₂−x₁| + |y₂−y₁|. For places on Earth, geographic distance accounts for the planet's curvature using the Haversine formula.
Key takeaways
- La distància euclidiana és sempre el camí més curt possible entre dos punts; La distància de Manhattan és sempre igual o més llarga, ja que no es pot tallar en diagonal.
- Euclidean and Manhattan distance are only equal when the two points share an x or y coordinate — movement along a single axis.
- La distància de Minkowski és una generalització: p = 1 dóna Manhattan, p = 2 dóna euclidiana i p = ∞ dóna la distància de Chebyshev (la diferència més gran d'un sol eix).
- La distància geogràfica entre coordenades necessita la fórmula de Havesine, no la fórmula de la distància plana, perquè la superfície de la Terra és corba.
Escollint la fórmula de distància correcta
| Escenari | Fórmula | Per què |
|---|---|---|
| Straight-line distance on a plane | Euclidià | El camí més curt possible |
| Distància al llarg dels blocs de la ciutat / una quadrícula | Manhattan | No es pot tallar en diagonal a través dels blocs |
| Distància entre dues coordenades terrestres | Geographic (Haversine) | Compta la curvatura del planeta |
| Mètrica de distància general i ajustable | Minkowski | Família que cobreix Euclidean, Manhattan i Chebyshev |
Exemple treballat: tres distàncies, un parell de punts
Take the points (0, 0) and (3, 4). Depending on the metric, "the distance" between them isn't a single number:
| mètrica | Càlcul | Resultat |
|---|---|---|
| Euclidià (p=2) | √(3² + 4²) = √25 | 5 |
| Manhattan (p=1) | |3| + |4| | 7 |
| Txebixev (p=∞) | max(3, 4) | 4 |
All three answers are correct — for their own definition of "distance." Euclidean gives the shortest path (a straight line), Manhattan gives the longest (grid-only movement), and Chebyshev gives the shortest of all, since it only counts the larger of the two axis differences.
La família a distància Minkowski
d = (Σ|x − y|v)^(1/p)
Minkowski distance is a single formula with a tunable parameter p. Setting p = 1 reduces it to Manhattan distance, p = 2 reduces it to Euclidean distance, and as p approaches infinity, it converges to Chebyshev distance — the largest single-axis gap between the two points. This makes Minkowski distance a useful way to sweep between "grid movement" and "straight-line movement" behavior for the same pair of points.
Common mistakes to avoid
- Utilitzant la distància euclidiana per estimar la distància real de viatge en una quadrícula de la ciutat: subestima la distància real a peu o en cotxe, que la distància de Manhattan modela de manera més realista.
- Aplicar la fórmula de la distància plana directament a les coordenades de latitud/longitud: un grau de longitud cobreix distàncies del món real molt diferents segons la latitud, de manera que això requereix la fórmula de Haversine.
- Utilitzant un paràmetre de Minkowski p inferior a 1 i esperant un comportament de distància normal, per sota de p = 1, la fórmula ja no satisfà la desigualtat del triangle i deixa de comportar-se com una mètrica de distància real.
- La preocupació que les coordenades negatives produeixin una distància negativa: el quadrat (euclidià) i el valor absolut (Manhattan) eliminen el signe, de manera que la distància mai és negativa i l'ordre dels punts no importa mai.
Related calculators
- Calculadora del teorema de Pitàgores — vegeu la lògica del triangle rectangle darrere de la fórmula de la distància euclidiana 2D.
- Calculadora de triangle rectangle — resol els costats i els angles del triangle format pels teus dos punts.
- Calculadora de pendents — Trobeu la inclinació de la línia que connecta els vostres dos punts.
- Calculadora de triangle — treballar amb tres punts i geometria general del triangle.